Lesbók Morgunblaðsins - 27.12.2003, Blaðsíða 13

Lesbók Morgunblaðsins - 27.12.2003, Blaðsíða 13
LESBÓK MORGUNBLAÐSINS ˜ MENNING/LISTIR 27. DESEMBER 2003 13 Er talan 0 eining, jafnvel eitthvað áþreifanlegt? SVAR: Elstu menningarþjóðirnar, Forn- Egyptar, Majar, Kínverjar og Súmerar, virð- ast hafa haft hugtakið „núll“, en sérstakt tákn var þó ekki notað fyrir það nema stundum til að gefa til kynna eyðu á milli annarra tölu- stafa. Fyrsta notkun á tölustafnum „0“ (það er samsvarandi tákni) á sama hátt og hann er notaður í dag kemur sennilega fram hjá arab- íska stærðfræðingnum Múhammeð ibn Músa al-Kúarismí (uppi um 780–850), en orðið „algó- riþmi“ er reyndar dregið af nafni hans. Þessi notkun á 0-tölustafnum og öðrum arabískum tölustöfum breiddist síðan um Evrópu á 10. öld. Þetta var smáforspjall um notkun tölustafs- ins „0“. En við megum ekki rugla tölustafnum saman við töluna sjálfa, sem spurt er um. Hvað eru tölur? Þetta er spurning sem ýmsir heimspekingar hafa glímt við, allt frá dögum Platons og Pýþagórasar. Pýþagóras (uppi um 532 fyrir Krist), sem varð fyrir áhrifum frá trúarbrögðum Forn-Egypta, taldi tölur liggja til grundvallar öllu í heiminum. Aristóteles segir um hann: „Pýþagóringar voru hinir fyrstu sem hugsuðu alvarlega um stærðfræði og þróuðu hana. Vegna þekkingar sinnar á þessum vísindum komust þeir á þá skoðun, að grundvöllur stærðfræðinnar væri líka grund- völlur alls sem er“. Tölurnar eru sem sagt heillandi viðfangsefni og samgrónar allri mannlegri hugsun. Lengi vel voru þó engar heildstæðar kenn- ingar settar fram um það hvað tölur eru. Það var ekki fyrr en á 19. öld, að þýski heimspek- ingurinn Gottlob Frege (1848–1925) setti fram þá kenningu, að tölur séu ekkert annað en mengi af ákveðnu tagi. Hann komst að þeirri niðurstöðu, að þegar við segjum til dæmis að Norðurlöndin séu fimm, þá erum við ekki að segja neitt um Norðurlöndin hvert fyrir sig, heldur um annan hlut, nefnilega mengi Norð- urlandanna: við erum að segja að þetta mengi hafi ákveðinn fjölda staka. En hvaða fjölda staka? Auðvitað 5! En erum við þá ekki að nota töluhugtakið aftur? Til að komast hjá þessum vanda notfærði Frege sér hugtakið „gagntæk vörpun“ (e. one to one correspondence). Sagt er að til sé gagn- tæk vörpun á milli tveggja mengja, M og N, ef til sérhvers staks í M svarar nákvæmlega eitt stak í N, og þetta stak í N er ekki svörun neins annars staks í M, og öfugt. Þegar gagntæk vörpun er til á milli M og N er sagt að þau hafi jafnmörg stök eða hafi sömu fjöldatölu. Þannig er til gagntæk vörpun á milli mengis fingra vinstri handar og mengis fingra hægri handar, þar sem bæði hafa fimm stök, fjöldatöluna fimm. Ef við tökum nú öll mengi, sem hafa fimm stök, það er öll mengi sem unnt er að setja í gagntæka svörun til dæmis við mengið {Ís- land, Danmörk, Noregur, Svíþjóð, Finnland}, mynda þau eitt stórt mengi, nefnilega mengi allra þeirra mengja, sem eru í gagntækri svör- un við framangreint mengi, það er mengi allra þeirra mengja sem hafa fimm stök. Þetta stóra mengi segir Frege vera töluna fimm, og hann skilgreindi allar náttúrulegar tölur, það er 0, 1, 2, 3, 4, …, á hliðstæðan hátt sem mengi mengja. Samkvæmt þessu er talan 0 mengi allra þeirra mengja, sem hafa ekkert stak. Reyndar er aðeins til eitt mengi, sem hefur ekkert stak, nefnilega tómamengið, sem er oft táknað með Ø, þannig að 0 er skilgreint sem mengið sem hefur tómamengið sem eina stak- ið, sem mengið {Ø}. Nú eru mengi sértækir (abstrakt) hlutir, það er þau eru ekki áþreifanleg, eitthvað sem við getum séð eða skynjað í raunheiminum, heldur sköpuð af mannshuganum, hugtök sem við notum til að skipuleggja og skilja veru- leikann, og því væri samkvæmt kenningu Freges talan 0 ekki áþreifanleg. En þar með er ekki sagt að hún sé ekki „eitthvað“, Frege var einmitt mjög í mun að sýna að tölur séu „hlutir“. En hlutir geta að sjálfsögðu verið óefniskenndir, eitthvað getur auðvitað verið hlutur án þess að við getum þreifað á því. Það sem átt er við með því að segja að eitt- hvað sé hlutur er einkum tvennt: a) unnt verð- ur að vera að segja hvort það sé samt ein- hverju öðru eða ekki, og b) það verður að vera unnt að nota orð sem vísar til þess, til dæmis N, og segja eitthvað um hlutinn, það er setja fram fullyrðingar á forminu „N er … „Þetta gildir einmitt um 0 (hér er ég að tala um hlut- inn 0, ekki tölustafinn „0“): ég get til dæmis sagt „0 er ekki sama tala og 1“, og „0 er minni en 2“. Því eru náttúrulegar tölur hlutir, það er sértækir hlutir, samkvæmt Frege. Síðari tíma heimspekingar hafa sett fram aðrar kenningar um tölur en Frege, en þær taka flestar mið af kenningum hans og við- urkenna, að hann hafi hitt naglann á höfuðið, að minnsta kosti í grundvallaratriðum, varð- andi eðli talna. Erlendur Jónsson, prófessor í heimspeki við HÍ. ER TALAN 0 EIN- ING, JAFNVEL EITTHVAÐ ÁÞREIFANLEGT? Hvað duga peningaseðlar og mynt lengi, hvernig er hægt að vinna í leiknum nim, hvað er gen, hvar finnst kvikasilfur í náttúrunni og hvað er skollakoppur? Þessum spurn- ingum og fjölmörgum öðrum hefur verið svarað að undanförnu á Vís- indavefnum og hægt er að lesa svörin á slóðinni www.visindavefur.hi.is. VÍSINDI Gottlob Frege S ólrúnin myndar mótvægi við mátt Ísrúnar, en báðar eru nauðsynlegar fyrir samræmi og þróun hugar og heims, þótt og af því þær mynda ystu and- stæðuskaut. Rúnaþríundin Sól, Ár og Ís kann sem heild að vísa á skífu eða hjól, stöðuga hringrás, svo sem sjá má af íslenska rúnakvæðinu, þar sem sagt er að Sól sé „skýja skjöldur/ og skínandi röðull/ og ísa aldurtregi“. Þessi rúnatengsl koma skýrt fram í Abecedarium Nordmanicum, þar sem eftirfarandi texta (ásamt táknum sem hér er sleppt) er að finna: „Ís, Ár og Sól. / Tíu, Birki og Maður á milli. / Vatn hið bjarta. / Ýr nær til alls.“ En við hvaða sól skyldi vera átt? Í Snorra-Eddu er greint frá því að goðin hafi í upphafi gjört sól af síu eða eldgneistum úr suðrænum eldsheimi, kenndum við Múspell, en svo sem „kalt stóð af Niflheimi og allir hlutir grimmir,“ stendur þar, „svo var allt það, er vissi námunda Múspelli, heitt og ljóst“. Í ragnarakalýsingu Völuspár er sagt að Múspells lýðir komi sjóveg að austan til lokaorrustu við goðin, en í Lokasennu er minnst á syni Múspells er koma ríðandi sunnan yfir Myrkvið. Mun hið síðara vera réttara. Múspellsheimur hefur verið suð- rænn bruni, logandi og brennheitur, Surtur hét sá sem gætti landamæra hans, en orðið múspell kann að merkja dómsdag eða eldstortímingu. Surtur fer sunnan með eldi og sverði, af því skín bjartara en af sólu samkvæmt Snorra-Eddu, bál geisar og leikur við himin, brennir bústaði goða og manna, askinn sjálfan, auk þess sem stjörnur hverfa af himni og sól sortnar. Sólin sem við þekkjum er eftir þessu að dæma veikt endurskin, gneisti af frumeldi sem tengist heimssköpun og heimsslitum. Skyldu Múspellssynir búa í rún Sólar? Svo kann að vera því rúnin er hlaðin mótsagnakenndum krafti líkt og aðrar rúnir, andstæðum lífs og dauða, þótt merking hennar sé ein- ræð eftir norska rúnakvæðinu að dæma: „Sól er landa ljómi; lúti eg helgum dómi“. Sól og Ís mynda andstæðu líkt og Ás og Þurs, en líkt og þær síðari þarfnast Nauðar þá er Ársrúnin forsenda þess að jafnvægi haldist á milli þessara rúna. Hún hindrar að þær hnígi til öngþveitis, hvor í sína átt, að veröldin stikni í eldsvoða eða frjósi í klakajökul. Þetta má túlka með sálfræðilegum hætti, en Sól er leiðarljós líkt og Sjöstjarna himins, hefur verið fullyrt, því hún lýsir leið okkar um hugarhöf, frá einni strönd til annarrar, uns mögulegri fullkomnun er náð. Rúnin eyðir samkvæmt þessu efnislegri, sálrænni eða tilfinningalegri tregðu og hverfir kyrrstæðum Ís í andlegan eða lífrænan kraft enda mun hún hafa verið notuð til svefn- galdurs og til að finna þjófa á seinni tímum. RÚNAMESSA LESBÓKAR Morgunblaðið/Einar Falur „Sól er leiðarljós líkt og Sjöstjarna himins, hefur verið fullyrt, því hún lýsir leið okkar um hugarhöf, frá einni strönd til annarrar, uns mögulegri fullkomnun er náð.“ SÓL RÚNALÝSING 11:16 M AT T H Í A S V I Ð A R S Æ M U N D S S O N Í austri hefur ófullburða dagur brákað skurnina. Sprungin eggjarauða flæðir yfir dagsbrún. Hvít skurnbrot, blár diskur, rísa jakar úr sjó. BIRTA Höfundur gerir það sem honum bara sýnist. MORGUN VERÐUR

x

Lesbók Morgunblaðsins

Beinir tenglar

Ef þú vilt tengja á þennan titil, vinsamlegast notaðu þessa tengla:

Tengja á þennan titil: Lesbók Morgunblaðsins
https://timarit.is/publication/288

Tengja á þetta tölublað:

Tengja á þessa síðu:

Tengja á þessa grein:

Vinsamlegast ekki tengja beint á myndir eða PDF skjöl á Tímarit.is þar sem slíkar slóðir geta breyst án fyrirvara. Notið slóðirnar hér fyrir ofan til að tengja á vefinn.