Tímarit Verkfræðingafélags Íslands - 01.05.1921, Blaðsíða 6

16
T í M A R IT V. F. í. 1 9 2 1.
þannig að hann verði samsíða við tangentinn til tíma-
línu punktsins (í tímapunktinum).
Minkowski skoðar nú þrívíða mynd í fervíðu
rúmi: Q=c2t2—x2—y2—z2=l, og læt jeg mjer í því
sambandi nægja að skoða flötinn c2t2—x2—y2=l, sem
er tvíblöðuð rotationshyperboloid, með xy-fletinum
fyrir symmetriflöt, og hirði jeg aðeins um það blaðið,
sem liggur í rúmhlutanum t > 0. Allar þær „ein-
földuu („líneru“) transformationir sem transformera
stærðtáknið x2-f-y2-j-z2 í sjálft sig, transformera þessa
mynd í sjálfa sig. Transformationirnar x'=x—at,
y’=y—/?t og z’=z—yt gera það að vísu ekki, því
að stærðtáknin c2t2—(x—«t)2—(y—/?t)2—(z—yt)2 og
c2t2—x2—y2—z2 eru því aðeins þau sömu, að c sje
óendanlegt; en Minkowski segir að ekkert sje því til
fyrirstöðu að lögmálin í hreyflngarfræðinni ættu að
vera invariant gagnvart myndinni c2t2—x2—y2—z2=l
ef c væri aðeins nógu stór tala, borin saman við aðrar
mældar tölur, og verður naumast haft á móti því,
með neinum rökum, að svo gæti verið. Annars kem-
ur þessi mynd hjá Minkowski eins og skrattinn
úr sauðarleggnum. Hann vill nefnilega láta það lita
svo út — og segir það beint — að maður hefði átt
að geta komist á aðrar skoðanir um tíma og rúm
án stuðnings eðlisfræðinnar, eingöngu með stærð-
fræðilegum yfirvegunum. En hin sanna ástæða til þess
að hann tekur þessa mynd fyrir, er sjálfsagt sú,
að Michelsons tilraun virðist sýna, að útbreiðslulög-
mál Ijóssins, sem í tómu riuni er ct=\/(c
er hraði ljóssins, t sá tími, sem það þarf til þess að
fara frá origo til punktsins x y, z) sje eins, hvort
sem það er skoðað frá koordinatkerfi sem er „kvrtu
gagnvart ljósgjafanum, eða frá koordinatkei'fi sem er
á jafnri hreyfingu gagnvart honum (hreyfing jarðar-
innar telst jöfn, meðan á tilrauninni stendur). En það
þýðir, að ef x, y, z og t eru koordinatarnir í öðru
kerfinu, en x’, y’, z’ og t’ í hinu, þá er c2t2—x2—
y2—z2 = c2t’2—x’2—y’2—z’2. Þessvegna fer hann að
leita að þeim „einföldu11 transformationum sem trans-
formera stærðtáknið c2t2—x2—y2—z2 í sjálft sig. Hann
vill með öðrum orðum teygja fjallið til Múhameðs,
þ. e. a. s. samræma hreyfingarfræðina Michelsons
tilraun, af því að Michelsons tilraun vill ekki sam-
ræmast hreyfingarfræðinni.
Jöfnur flatarins c2t2—x2—y2=l verða c2t’2—x’2
—y’2=l, ef t-ásnum er hallað til t’, og x’- og y’-ás-
arnir eru konjugeraðir diametrar i konjugeruðum
diametralfleti við t’-ásinn. 4. niynd sýnir skúrð-
línu flatarins við tx-flötinn. Jöfnur hennar eru,
c2t2—x2=l og skurðlínur tx-flatarins við asym-
ptotakeiluna (sem mætti kalla „ginkeilunau á ís-
lensku) eru t = + —. Einfaldur reikningur sýnir
nú að OA=l/c, og að AB=OC=l. Jöfnur skurðlín-
unnar í t’ x’ kerflnu eru c2t’2=x’2=l, en lengdarein-
ingin í því kerfi A’B’=OC’. Nú er afstæður hraði
kerfanna v = tgu. Lítum nú á stöngina Pj P2 í upp-
haflega kerfinu og stöngina Qx Q,2 í síðara kerfinu.
Tímalínur punktanna P, og P2 eru samsíða t-ásnum,
af því að Pj P2 er kyr gagnvart kerfinu. Qj Q, er
kyr gagnvart kerfinu t’ x’, en hreyfist gagnvart því
fyrra í stefnu x-ássins. Hugsum oss nú að lengd
stangarinnar Pj P2 sje 1, og lengd stangarinnar Q,
Q2 sömuleiðis — ef hún skoðuð kyr þ. e. ef sá, sem
að P^ P2 = 1. 0 C og Qj Qa
mælir, fylgir Qj Q2 á hreyfingu hennar. Þetta þýðir
Pi P,
Qi 02
„ _o c
Qi Q2
0 C’ 0 C 1
0 C „ , Pj P2 Pj P2
ÖC’• En nu eröTöT—
1. 0 C’. Þá er
Q,i Qg
Q\ Q’, 0 C’
O D OD \y l -V/c*’ Þ' 6' Q l ?1 Ps'
V l — v2/c2. o: Ef stöngin Qt Q2 er mæld í upphaf-
lega kerfinu, er hún jöfn Pi P2 margfaldaðri ,með
V 1 — v2/c2. Eins t'er ef stöngin Pi P2 er mæld í x’ t’
P’i P’2 P’i P’* Pi Pt 0 E 0 C
kerfinu. Þa er
Qi Qs
P. Ps Qi Q2 0 C 0 C’
0 E
0 C’'
En ljettur analytiskur reikningur sýnir, að
0 E = — \/ c‘ + v! og 0 C’
c
— 1[c4 +v2
C 1 C2 --- V2
svo að
hlutfallið OE:OC’ = -- \J c2 — v2 = QJ -v2/c2. Stöng-
in Pi P2 mælist þá í síðara kerfinu eins og Qi Q2 í
því fyrra. Sú stöngin sem talin er á hreyfingu mæl-
ist styttri en hin. Lengd stangar er þá afstæð stærð.
Hún mælist öðruvísi frá sjónarmiði þess, sem lireyf-
ist með henni, heldur en frá sjónarmiði hins, sem hefir
afstæða hreyfingu gagnvart henni, og er með því
gefin eðlilegri skýring á samdráttarkenningu Lorentz.
Jöfnur asymptotakeilunnar eru þessar: c2t2—x2
—y2=0. Nú verður t-ásinn að vera innan í henni, og
getur því eigi haft hvaða stefnu sem vera skal.
Nú verður hver hlutpunktur eigi að síður að
geta, talist kyr, ef inertiulögmálið á að haldast. En