Lesbók Morgunblaðsins - 27.12.2003, Síða 13

LESBÓK MORGUNBLAÐSINS ˜ MENNING/LISTIR 27. DESEMBER 2003 13
Er talan 0 eining, jafnvel
eitthvað áþreifanlegt?
SVAR: Elstu menningarþjóðirnar, Forn-
Egyptar, Majar, Kínverjar og Súmerar, virð-
ast hafa haft hugtakið „núll“, en sérstakt tákn
var þó ekki notað fyrir það nema stundum til
að gefa til kynna eyðu á milli annarra tölu-
stafa. Fyrsta notkun á tölustafnum „0“ (það er
samsvarandi tákni) á sama hátt og hann er
notaður í dag kemur sennilega fram hjá arab-
íska stærðfræðingnum Múhammeð ibn Músa
al-Kúarismí (uppi um 780–850), en orðið „algó-
riþmi“ er reyndar dregið af nafni hans. Þessi
notkun á 0-tölustafnum og öðrum arabískum
tölustöfum breiddist síðan um Evrópu á 10.
öld.
Þetta var smáforspjall um notkun tölustafs-
ins „0“. En við megum ekki rugla tölustafnum
saman við töluna sjálfa, sem spurt er um.
Hvað eru tölur? Þetta er spurning sem ýmsir
heimspekingar hafa glímt við, allt frá dögum
Platons og Pýþagórasar. Pýþagóras (uppi um
532 fyrir Krist), sem varð fyrir áhrifum frá
trúarbrögðum Forn-Egypta, taldi tölur liggja
til grundvallar öllu í heiminum. Aristóteles
segir um hann: „Pýþagóringar voru hinir
fyrstu sem hugsuðu alvarlega um stærðfræði
og þróuðu hana. Vegna þekkingar sinnar á
þessum vísindum komust þeir á þá skoðun, að
grundvöllur stærðfræðinnar væri líka grund-
völlur alls sem er“. Tölurnar eru sem sagt
heillandi viðfangsefni og samgrónar allri
mannlegri hugsun.
Lengi vel voru þó engar heildstæðar kenn-
ingar settar fram um það hvað tölur eru. Það
var ekki fyrr en á 19. öld, að þýski heimspek-
ingurinn Gottlob Frege (1848–1925) setti fram
þá kenningu, að tölur séu ekkert annað en
mengi af ákveðnu tagi. Hann komst að þeirri
niðurstöðu, að þegar við segjum til dæmis að
Norðurlöndin séu fimm, þá erum við ekki að
segja neitt um Norðurlöndin hvert fyrir sig,
heldur um annan hlut, nefnilega mengi Norð-
urlandanna: við erum að segja að þetta mengi
hafi ákveðinn fjölda staka. En hvaða fjölda
staka? Auðvitað 5! En erum við þá ekki að
nota töluhugtakið aftur?
Til að komast hjá þessum vanda notfærði
Frege sér hugtakið „gagntæk vörpun“ (e. one
to one correspondence). Sagt er að til sé gagn-
tæk vörpun á milli tveggja mengja, M og N, ef
til sérhvers staks í M svarar nákvæmlega eitt
stak í N, og þetta stak í N er ekki svörun neins
annars staks í M, og öfugt. Þegar gagntæk
vörpun er til á milli M og N er sagt að þau hafi
jafnmörg stök eða hafi sömu fjöldatölu. Þannig
er til gagntæk vörpun á milli mengis fingra
vinstri handar og mengis fingra hægri handar,
þar sem bæði hafa fimm stök, fjöldatöluna
fimm.
Ef við tökum nú öll mengi, sem hafa fimm
stök, það er öll mengi sem unnt er að setja í
gagntæka svörun til dæmis við mengið {Ís-
land, Danmörk, Noregur, Svíþjóð, Finnland},
mynda þau eitt stórt mengi, nefnilega mengi
allra þeirra mengja, sem eru í gagntækri svör-
un við framangreint mengi, það er mengi allra
þeirra mengja sem hafa fimm stök. Þetta stóra
mengi segir Frege vera töluna fimm, og hann
skilgreindi allar náttúrulegar tölur, það er 0, 1,
2, 3, 4, …, á hliðstæðan hátt sem mengi
mengja. Samkvæmt þessu er talan 0 mengi
allra þeirra mengja, sem hafa ekkert stak.
Reyndar er aðeins til eitt mengi, sem hefur
ekkert stak, nefnilega tómamengið, sem er oft
táknað með Ø, þannig að 0 er skilgreint sem
mengið sem hefur tómamengið sem eina stak-
ið, sem mengið {Ø}.
Nú eru mengi sértækir (abstrakt) hlutir,
það er þau eru ekki áþreifanleg, eitthvað sem
við getum séð eða skynjað í raunheiminum,
heldur sköpuð af mannshuganum, hugtök sem
við notum til að skipuleggja og skilja veru-
leikann, og því væri samkvæmt kenningu
Freges talan 0 ekki áþreifanleg. En þar með
er ekki sagt að hún sé ekki „eitthvað“, Frege
var einmitt mjög í mun að sýna að tölur séu
„hlutir“. En hlutir geta að sjálfsögðu verið
óefniskenndir, eitthvað getur auðvitað verið
hlutur án þess að við getum þreifað á því.
Það sem átt er við með því að segja að eitt-
hvað sé hlutur er einkum tvennt: a) unnt verð-
ur að vera að segja hvort það sé samt ein-
hverju öðru eða ekki, og b) það verður að vera
unnt að nota orð sem vísar til þess, til dæmis
N, og segja eitthvað um hlutinn, það er setja
fram fullyrðingar á forminu „N er … „Þetta
gildir einmitt um 0 (hér er ég að tala um hlut-
inn 0, ekki tölustafinn „0“): ég get til dæmis
sagt „0 er ekki sama tala og 1“, og „0 er minni
en 2“. Því eru náttúrulegar tölur hlutir, það er
sértækir hlutir, samkvæmt Frege.
Síðari tíma heimspekingar hafa sett fram
aðrar kenningar um tölur en Frege, en þær
taka flestar mið af kenningum hans og við-
urkenna, að hann hafi hitt naglann á höfuðið,
að minnsta kosti í grundvallaratriðum, varð-
andi eðli talna.
Erlendur Jónsson, prófessor í heimspeki við HÍ.
ER TALAN 0 EIN-
ING, JAFNVEL
EITTHVAÐ
ÁÞREIFANLEGT?
Hvað duga peningaseðlar og mynt lengi, hvernig
er hægt að vinna í leiknum nim, hvað er gen, hvar
finnst kvikasilfur í náttúrunni og hvað er skollakoppur? Þessum spurn-
ingum og fjölmörgum öðrum hefur verið svarað að undanförnu á Vís-
indavefnum og hægt er að lesa svörin á slóðinni www.visindavefur.hi.is.
VÍSINDI
Gottlob Frege
S
ólrúnin myndar mótvægi við mátt Ísrúnar, en báðar eru nauðsynlegar fyrir
samræmi og þróun hugar og heims, þótt og af því þær mynda ystu and-
stæðuskaut. Rúnaþríundin Sól, Ár og Ís kann sem heild að vísa á skífu eða
hjól, stöðuga hringrás, svo sem sjá má af íslenska rúnakvæðinu, þar sem
sagt er að Sól sé „skýja skjöldur/ og skínandi röðull/ og ísa aldurtregi“.
Þessi rúnatengsl koma skýrt fram í Abecedarium Nordmanicum, þar sem
eftirfarandi texta (ásamt táknum sem hér er sleppt) er að finna: „Ís, Ár og
Sól. / Tíu, Birki og Maður á milli. / Vatn hið bjarta. / Ýr nær til alls.“
En við hvaða sól skyldi vera átt?
Í Snorra-Eddu er greint frá því að goðin hafi í upphafi gjört sól af síu eða eldgneistum
úr suðrænum eldsheimi, kenndum við Múspell, en svo sem „kalt stóð af Niflheimi og allir
hlutir grimmir,“ stendur þar, „svo var allt það, er vissi námunda Múspelli, heitt og ljóst“.
Í ragnarakalýsingu Völuspár er sagt að Múspells lýðir komi
sjóveg að austan til lokaorrustu við goðin, en í Lokasennu er
minnst á syni Múspells er koma ríðandi sunnan yfir Myrkvið.
Mun hið síðara vera réttara. Múspellsheimur hefur verið suð-
rænn bruni, logandi og brennheitur, Surtur hét sá sem gætti
landamæra hans, en orðið múspell kann að merkja dómsdag
eða eldstortímingu. Surtur fer sunnan með eldi og sverði, af
því skín bjartara en af sólu samkvæmt Snorra-Eddu, bál
geisar og leikur við himin, brennir bústaði goða og manna,
askinn sjálfan, auk þess sem stjörnur hverfa af himni og sól
sortnar. Sólin sem við þekkjum er eftir þessu að dæma veikt
endurskin, gneisti af frumeldi sem tengist heimssköpun og
heimsslitum.
Skyldu Múspellssynir búa í rún Sólar? Svo kann að vera
því rúnin er hlaðin mótsagnakenndum krafti líkt og aðrar
rúnir, andstæðum lífs og dauða, þótt merking hennar sé ein-
ræð eftir norska rúnakvæðinu að dæma: „Sól er landa ljómi;
lúti eg helgum dómi“.
Sól og Ís mynda andstæðu líkt og Ás og Þurs, en líkt og þær síðari þarfnast Nauðar þá
er Ársrúnin forsenda þess að jafnvægi haldist á milli þessara rúna. Hún hindrar að þær
hnígi til öngþveitis, hvor í sína átt, að veröldin stikni í eldsvoða eða frjósi í klakajökul.
Þetta má túlka með sálfræðilegum hætti, en Sól er leiðarljós líkt og Sjöstjarna himins,
hefur verið fullyrt, því hún lýsir leið okkar um hugarhöf, frá einni strönd til annarrar,
uns mögulegri fullkomnun er náð.
Rúnin eyðir samkvæmt þessu efnislegri, sálrænni eða tilfinningalegri tregðu og hverfir
kyrrstæðum Ís í andlegan eða lífrænan kraft enda mun hún hafa verið notuð til svefn-
galdurs og til að finna þjófa á seinni tímum.
RÚNAMESSA LESBÓKAR
Morgunblaðið/Einar Falur
„Sól er leiðarljós líkt og Sjöstjarna himins, hefur verið fullyrt, því hún lýsir leið okkar um
hugarhöf, frá einni strönd til annarrar, uns mögulegri fullkomnun er náð.“
SÓL
RÚNALÝSING 11:16
M AT T H Í A S V I Ð A R S Æ M U N D S S O N
Í austri
hefur ófullburða dagur
brákað skurnina.
Sprungin eggjarauða
flæðir yfir dagsbrún.
Hvít skurnbrot,
blár diskur,
rísa jakar úr sjó.
BIRTA
Höfundur gerir það sem honum bara sýnist.
MORGUN
VERÐUR