Tímarit Verkfræðingafélags Íslands - 01.05.1921, Page 8

18
T í M A R I T V. F. 1. 1 9 2 1.
xi Xí. Alment skilyrði fyrir því að tveir vektorar í
tímarúminu með komposöntunum Xi Yi YiTi og X2Y2
Z2 T2 sjeu normal hvor við annan er þá að sjálfsögðu
þetta: c2 Ti T2 — X1X2 — Yi Y2 — Z. Z2 = 0. Nú verð-
ur að gæta þess, að lengdareiningin á tímaásnum t,
verður að vera þannig að OA='/e, en á tímaásn-
um t’ þannig að OA’ =a/c (4. mynd). Eins eru lengd-
areiningarnar mismunandi á rúmásunum x og x’, svo
að lengdareiningin er yfirleitt afstæð þ. e. komin
undir því, hvernig línan snýr í koordinatkerfinu.
Lengd línustriks mælda með lengdareiningu þeirrar
stefnu, sem strikið hefir, kalla jeg „mælilengdu þess.
Köllum nú dr eitt element af tímalínu punkts,
og hugsum oss kordinata annars endapunktsins á dr
vera 0, 0, 0, en hins dx, dy, dt. Ef jöfnur fiatarins
á 4. mynd væru c2t2—x2—y2=k2 væri mælilengd
striksins OA — og striksins 0 A’ sömuleiðis. Hugs-
um os nú að OA’ væri tímalínuelementið Az þá er
dr = . En nú á jöfnum flatarins c2t2—x2—y2=k2
að vera íullnægt af koordinötum punktsins A’, sem
eru dx, dy og dt. Þá er k2=c2dt2—dx2 — dy2, svo
að dr = ~ \/ c2dt2 — dx2 — dy2, og í „veröldu Minkow-
skis verður dz = ^ \J Jdt2—dx2—dy2 — dz2. Minkow-
ski kallar nú $dz frá einhverjum fyrirfram tiltekn-
um punkti á tímalínunni „sjertíma11 punktsins.
dr _
Af skilgreiningunni á sjertima leiðir: — —
dX2+dy2+dz2 1 ---
«!f P Vc8-v!
V 1 — V2/ca ,
ef v er hraði punktsins. Nú er út invariant fyrir
koordinatbreytingum, svo að dt \/ 1 — v2/c2er konstant
þó að v breytist 0: tímaeiningin er afstæð stærð.
Hún lengist eftir því sem hraðinn vex, og nálgast
00 þegar v nálgast c.
Minkowski hefir nú z fyrir óháðan variabel og
differentierar með tilliti til þess. Vektor, sem
dx dy dz dt
hefir komposantana— > — > — °g —, kallar hann
„hreyfingarvektorinnu í punktinum x, y, z, t, en
d2x d2y d2z d2t
dz2 ’ dt" ’ dz2 ’ dr2
unarvektor11 (Beschleunigungsvektor). Skilgreiningar-
jöfnurnar fyrir sjertíma má nú rita svo:
vektorinn
kallar hann „hröð-
dt 2 dx 2 dy 2 dz 2
áx dr dr dr
c2, en þar af
leiðir með differentiation: c2
dt
dt
d2t
dr2
dx
di
d2x
dr*
dy d2y__ dz d2z
" dx' d7 dV' d7 = °’ e’
ingarvektor (sem ávalt er
— Hreyfing-
tímavektor, þar
sem tangentinn til tímalínunnar er innan gin-
keilunnar) og h r ö ð u n ar v e k 10 r eru 11 o r-
mal hvor við annan. Hröðunarvektorinn erþví
ætíð rúmvektor. Það leiðir ennfremur af skilgrein-
dt__ 1
ingunni á sjertíma að ---—---- _, ef v er hraði
d T V 1 — v2/c2
rúmpunktsins x, y, z.
Lorentz-transformationir. Allar þær
„einfölduu transformationir, sem transformera stærð-
táknið c2t2—x2 — y2 — z2 í sjálft sig, heita Lorentz-
transformationir. Sje t-ásnum hallað í áttina til x-
ássins sem þá rís móti honum verða y og z óbreytt,
en x
x — vt
og t’
t—v/c2 X
V 1 — V2/c2 V 1 — V2/c2
sönnunar þarf eigi annað en sýna, að c2
x — vt
Þessu til
t—v/c2x
V1 — V2/c’
áfram með
sem ma gera
V 1 — v8/c'
blátt
útreikningi. Sjeu aftur x og t táknuð
með x’ og t’, koma sömu stærðtáknin út, nema hvað
v að sjálfsögðu skiftir merki, því að v þýðir afstæð-
an hraða kerfanna hvors gagnvart öðru.
í þessu sambandi vil jeg víkja aftur að því, sem
áður var á minst, að allur hraði er minni en c.
Hugsum oss þrjá menn A, B og C á beinni línu, og
væru þeir A og C báðir á hreyfingu gagnvart B, A
til vinstri en C til hægri. Nú skyldi hraði hvors
þeirra gagnvart B vera t. d. 3/4 ljóshraðans. Væri þá
ekki afstæður hraði A og C innbyrðis helmingi meiri
eða H/a sinnum ljóshraðinnn? Nei, alls ekki, ef litið
er afstætt á það. Segjum að hraði C frá B skoðað
sje w, en hraði A frá B skoðað — v, eða hraði B
frá A skoðað v. Kordinatkerfi A6 skyldi vera x
y z t, en B6 x’ y’ z’ t’, og x-ásarnir hjá báðum
eftir línunni A B C. Þá má eliminera x’ og t’ úr
x — vt t — v/c2 x
jöfnunum x’ = . . . —, t’ = —— - = og x’
wt’.
V 1 — V2/c2’
V 1 — v2/c2
Koma þá út jöfnurnar w (t — v/c2- x) = x
v + w
— vt, sem má rita svo: x = y -þ YZw' sem sýna
y + w
að hraði C frá A skoðað er einmitt 1 1 v w; en sje
' o2
IV2 0 24
nú v = w = s/4 c, verður þetta — : - == — c.
1 I /16 40
V + w
Stærðtáknið i _l v w nálgast markgildið c, þegar v
' o>
og w nálgast c, hvort heldur annaðhvort eða hvort-
tveggja. c verður í þessu stærðtákni likt og 00 . Þann-
ig er c ± v = c, hvað sem v þýðir, og kemur það
heim við Michelsons tilraun.
Próf. Einstein segir í bæklingi þeim, sem fyr var
v<ar nefndur, að fundinn hafi verið hraði ljóssins í
rennandi vatni, samkvæmt tilraun, sem hinn frægi
eðlisfræðingur Fizeau gerði fyrstur manna, og síðan