Morgunblaðið - 25.02.1987, Síða 53

MORGUNBLAÐIÐ, MIÐVIKUDAGUR 25. FEBRÚAR 1987
53
Lausnír á dæmum í
landskeppni í eðlisfræði
1. verkefni
a) Ytri kraftar, sem eiga uppruna sinn utan kerfisins, eru:
- Þyngdarkrafturinn m g á massann m
M g á massann M
- Þverkrafturinn N upp á við frá borðinu á kerfið (m +M )
Þessir kraftar eru allir lóðréttir, þannig að ytri kraftar í iárétta stcfnu
eru 0:
0 (i)
Skilgreinum hnitin
x = færsla m miðað við borð, frá jafnvægisstöðu
X = færsla M miðað við borð, frá jafnvægisstöðu
Hraði massanna m og M er þá v = dx/dt og V = c/X/dí
(Athugið að "x" í texta dæmisins verður kallað "x” hér á eftir).
b) Aðeins þyngdarkrafturinn framkvæmir vinnu, og hann er geyminn. bví
er heildarorkan varðveitt . Efy táknar hæð massans m miðað við
jafnvægisstöðu, er heildarorkan:
mgy + 1/2 mv2+ 1/2 MV2 = E = fasti (2)
Af jöfnu (1) leiðir að samanlagður láréttur skriðþungi er varðveittur:
mv + MV = 0 (3)
og massamiðja hreyfist því ekki í stefnu x-áss:
(m + M) xCM = mx + MX = 0 (4)
c) Lárétt færsla massans m miðað við stóra kubbinn M er xt = x -X
. Hæðina y má tákna við xt með því að nota reglu Pýþagórasar:
R2=x,2+(R - y )2, y =R -(R2-x2)'V =
R\\-{\-(x,/R)2)''2\
Pegar x, « R eins og hér er gefið, má gera nálgun fyrir y (röð
Taylors), og þá fæst fyrir staðarorkuna:
U= mgy = mgR 11 - (1 - {x,/R }2),/2| =
mgR 11-1 + 1/2 (Xj 2/R 2)} = 1/2 (mg/R ) x2 (5)
d) Af jöfnum (3) og (4) leiðir að
V = - (m /M) v = - (m /M ) dx /dt, X = - (m /M) x
Xj = x - X = (\ + m/M) x, x = x,/(1 + m/M),
v = V| /(1 + m /M ) (6)
V =-(m/M)Vj/(\ + m/M), X = - (m /M )x, /(1 +m/M)
Þannig eru hnitin x og X og tímaafleiður þeirra táknuð við x; og v; =
dxj /dt
e) Setjum jöfnur (5) og (6) inn í orkujöfnuna (2):
1/2 (mg/R)x,2 + 1/2(1/11 +m/M|2)(m+m2/M)vi2 = £
Eða, ef við styltum og seljum/í =mM/(m+M) (skertur massi):
1 /2(mg/R)Xl2 + 1/2/1 v,2 = E (7)
Þetta má bera saman við venjulegan hreinan sveifil með kraftstuðli k,
þar sem heildarorkan er
1/2 k x 2 + 1/2 m v 2 = E (8)
Með slíkum samanburði fæst að hreyfingu skv. jöfnu (7) sé lýst með
jöfnunni
Xj = d cos cot
í staðinn fyrir co = (k /m )1/2 skv. jöfnu (8) kemur hér
co =[(ji/m)(R /g )]1/2, og fyrir sveiflutímann T fæst
T =2n /œ =2tc[(1 + m/M) g/R ]1/2
M » m gefur T - 2n (g V )l/2, einsog fyrir venjulegan pendúl.
(Athugasemd: Ef M « m getur þurft að beita annarri aðferð, þar sem
"litli" kubburinn geturþá losnað frá "stóra" kubbnum.)
2. verkefni
a) f «(RCy]:
Straumurinn nálgast að vera jafnstraumur og þéttarnir hleypa engum
straum gegnum sig. Hins vegar em tvær leiðir milli punktanna A og B
án þétta, þannig að jafngild rás verður:
Heildarviðnámið er því 7/2 R
b) f »(RC)'1:
Nú skammhleypa þéttamir straumnum og jafngild rás verður:
R
R
Þetta jafngildir fjórum hliðtengdum viðnámum, þar sem tvö cru R en
hin tvö eru 3/2 R. Um heildarviðnámið gildir þá
1/Heildarviðnám = 1 /R + l/(3/2 R ) + l/(3/2 R ) + \/R = 10/3 1 /R ,
Heildarviðnám = 3/10 R
Aiikaspnrning.
Með því að nota tvinnviðnám og lögmál Kirchoffs um straumrásir má
finna tvinnviðnámið Z(co) milli A og B sem fall af horntíðninni cú . Um
strauminn / sem tvinntölu gildirjafnan / = V/Z, þar sem V er spennan. Á
þennan hátt fæst að I/1 sem fall af cú vex frá gildinu 2/ 7 V0/R fyrir cú =0
upp í markgildið 10/3 VQ/R þegar co —»<», þar sem VQ er sveifluvídd
spennunnar V. Einnig fæst að fasamunur straums og spennu er 0 þegar
tú = 0 og þegar cú —> en rfs í eitt hágildi þar á milli. Hægt er að komasi
að þessum grófu niðurstöðum með umhugsun án útreikninga.
1 verkgfnj
Auðkennum ljósgeislann með vigri (vektor) sem lýsir m.a. stefnu hans:
k = (kj ,k2,k3)
Hver speglun skiptir um formerki á einu hniti: k( -+ - k
Speglanir verða: ein ef tvö k( = 0, tvær ef eitt A'y= 0 og þrjár ef öll A * 0
(geislinn er þá ekki samsíða neinum speglinum).
I öllum tilvikum skiptir vigurinn k alveg um stefnu.
Speglakerfi af þessu tagi eru til dæmis notuð í kattaraugum.
Ef einum spegli er sleppt, t.d. í xy - sléttunni, þá gildir k -> - k þá og
því aðeins að k3 = 0. Almennt gildir í slfku speglakerfi
k — (kj, k^, Aj) > (-kj, -k^, k3 )
4, verkefni
Hér þart að nota ástandsjöfnuna fyrir kjörgas:
pV=nRT (1)
I upphafi gildir um þrýsting, rúmmál og hita í vinstri strokknum:
Pvfí = 1 atm = Pfí. Vvfí = 22,4 lítrar = V(), Tvfí = 273 K = T()
I hægri strokknum gildir:
Vho = 22,4 lítrar = V(), Th() = 273 K = Tfí
en þrýstinginn þar, Ph(), þarf að reikna: Um hlutfallið milli efnismagns í
hægri og vinstri strokki höfum við
nh/nv = 7,44/4
Jafna (1) gefur nú óþekkta þrýstinginn Ph():
PM) = Vnv Pv0
Rúmmálsbreytingin í hvorum strokk er
A V = 5 dnv 1 dm2 = 5 1,
svo að lokarúmmálið verður
Vv) = 17,4 1 , Vhl = 27,4 1
og lokaþrýstingur
pv, =p„ = W/V = (n,/nj 22,4/27,4 atm.
Hitinn í vinstri strokk verður því
Tv,=(pv,K,V(p*oVvo)p*o =
vo - *v\T0)Knv\vu+ 41V |PflV0) =
\njnv) |(V„-4V )/(V„ +AV)| T„ =
(7,44-17,4)/(4-27,4)-273 K = 49.5°C (322,5°K)
Innri orkan ístrokknum til vinstri eykst um
0 =4g-49,5K 12,7 J g 1 K > =2.51 kJ
og þetta er því sá vanni sem ga'sið í hægri strokknum lekur til sín, þvt'
innri orka hægri strokksins er óbreytt.
5. verkefni
a) m0 =/tflV = 1,20 kg m'3-100 m3 = 120 kg. Hér er helíngasið
meðtalið, en það er 17 kg, svo að massi belgs og fylgihluta má vera
m10 = I2iJig.
b) Hæðin y ákvarðast af
m/m0 = 37/120 = e'3>’.
y =(l/a)ln(120/37) = Po/(g/ro) ln(120/37) =
(1,013-105 kg m 1 s'2)/(9,8 m s'2-l,2 kg m 3) ln(120/37) = 10.1 km
c) Belgurinn fær hröðun a upp á við sem nemur 2/35 g, þar sem g er
þyngdarhröðunin á viðkomandi stað. (Hún er svo til jöfn
þyngdarhröðuninni g0 við yfirborð jarðar, því að
g = g0 - Ag, Ag/g0 = 2-10,1/6400= 1/3 %).
Ef ekki er tekið tillit til loftmótstöðu fæst venjuleg hrein sveifla urri nýja
jafnvægishæð, 10,6 km, sem finnst með því að endurtaka útreikninginn
í b-lið með nýjum massa, 35 kg í stað 37 kg. Sveifluvíddin A er
mismunur hennar og fyrri hæðar, ca. 0,5 km. Ákvarða má homtíðnina
(0 og síðan sveiflutímann T út fra jöfnunum a = A lú2 og co = 2it/T
Samtök um jafnrétti milli landshluta
stofna flokk og huga að framboði
SAMTÖK um jafnrétti milli
landshluta hafa ákveðið að
stofna stjórnmálaflokk. Þessi til-
laga var samþykkt á fundi
samtakanna á Selfossi liðinn
laugardag'. Að sögn Péturs Valdi-
marssonar formanns komst fólk
víða að af landinu ekki til fundar-
ins vegna ófærðar. Verður því
haldinn framhaldsfundur um
næstu helgi. Þar á að velja heiti
flokksins og ákveða hvort boðið
verður fram í komandi kosning-
um. Hrafnkell A. Jónsson forseti
bæjarstjórnar á Eskifirði og fé-
lagi i samtökunum segir að með
þessu sé verið að greiða þeim
náðarhöggið. Samtökin hafi
starfað og náð árangri á þver-
pólitískum grunni. Hann sé nú
brostinn.
Pétur sagði að flokkurinn hefði
sömu markmið og samtökin.
Stefnuskrá hans yrði þó ítarlegri
þar sem samtökin hafi enga stefnu
í utanríkismálum og fleiri veiga-
miklum þingmálum. Hann sagði að
andstaða stuðningsmanna samtak-
anna úr öðrum stjómmálaflokkum
lýsti „félagslegum vanþroska“
„Þeir hafa ekki skilið grundvöll
samtakanna. Það verður að gera
greinarmun á flokki og samtökum,
þar er um mismunandi hlutverk að
ræða. Ekki voru Búnaðarsamtökin
lögð niður þegar Framsóknarflokk-
urinn var stofnaður á grundvelli
þeirra. Verkalýðshreyfingin starfar
áfram þótt hún eigi sama uppruna
og Alþýðuflokkur og Alþýðubanda-
lag,“ sagði Pétur.
„Ef þetta fólk hefði sýnt þolin-
mæði hefðu samtökin gengt mikil-
vægu hlutverki í stjómmálum á
komandi árum og náð mikilsverðari
árangri en þetta illa gmndaða fram-
boð,“ sagði Hrafnkell sem hefur
starfað innan samtakanna frá
stofnun þeirra. Hann sagðist ætla
að segja sig úr samtökunum og
hefði heyrt að virkir félagsmenn á
Austfjörðum ætluðu að gera slíkt
hið sama ellegar láta þau afskipta-
laus í framtíðinni.
„Ég held að það hefði verið lág-
marks kurteisi hjá Pétri Valdimars-
syni við okkur sem höfum lagt
samtökunum lið á undanfömum
árum að hann hefði ekki bendlað
samtökin við þennan flokk. Hér er
aðeins komið enn eitt dæmið um
hvemig stjómmálaflokkar reyna að
slá eign sinni á almenn samtök,“
sagði Hrafnkell.
„Það liggur engin ákvörðun fyrir
um framboð. Skammur tími er til
stefnu og verið gæti að menn vildu
nota fjögur ár í kosningabarát-
tunna,“ sagði Pétur. „Mín persónu-
lega skoðun er þó sú að við eigum
að bjóða fram sem víðast." Hann
sagði að félagsmenn á Vestfjörðum
væm þegar tilbúnir í kosningaslag-
inn, en á suður, austur og vesturl-
andi væri lítil hrejrfmg komin á
framboðsmál.
Pétur sagðist ekki vilja láta neitt
uppi um stefnuskrá flokksins því
hún yrði endanlega mótuð á fram-
haldsfundinum. Hann sagðist þess
fullviss að flokksmenn yrðu sam-
stíga í öllum veigamestu atriðum.
„ Við viljum hvorki halla okkur til
við vinstri eða hægri. Það er gmnd-
vallaratriði. Meginmarkið okkar
verður að setja lýðveldinu stjómar-
skrá og stuðla að samvinnu milli
hreppa og bæjarfélaga f stærri ein-
ingum. Við viljum að fólki hvar sem
er á landinu njóti ávaxtanna af
vinnu sinni og opinber afskipti
minnki þannig að einstaklingurinn
fái meira svigrúm."