Uppeldi og menntun - 01.01.2012, Blaðsíða 85

Uppeldi og menntUn/icelandic JoUrnal of edUcation 21(1) 2012 85
friðrik diego og kristín halla Jónsdóttir
Annar svaraði þannig:
Kem hér með tillögur að líklegum svörum [nemenda í 10. bekk]: Ekki hægt að leysa
þetta. Það vantar upplýsingar um hvað börnin eru mörg. Það vantar upplýsingar um
hvað demantarnir eru margir.
Einn þátttakandi taldi aðspurður að um fleiri en eina lausn á dæminu gæti verið að
ræða en rökstuddi þá skoðun ekki. Hinir tveir töldu að lausnin væri ótvíræð en ein-
ungis annar færði rök fyrir svarinu. Aðspurðir hvort það skipti máli að talan 7, sem
kemur fyrir í dæminu, sé frumtala eða hvort setja mætti aðra frumtölu eða jafnvel
samsetta tölu í stað tölunnar 7, sögðu allir þrír nemendurnir að í stað 7 gæti komið
hvaða tala sem er, einn þeirra gaf engan rökstuðning en hinir tveir gáfu áhugaverðan
rökstuðning, annar eftir að skoða tiltekin dæmi um aðrar tölur en 7 og hinn með því
að sýna útreikninga.
Allir sýndu þátttakendur greinandi hugsun sem leiddi til ályktana. Dæmi um þetta:
Það má draga þá ályktun að demantafjöldinn sé ferningstala. Það væri hægt að semja
dæmið þannig að önnur ferningstala væri fjöldi demanta. Dæmið er leysanlegt fyrir
hvaða ferningstölu sem er. Ef fjöldi barna er x, þá er fjöldi demanta x · x og hluti
afgangs sem fyrsta barn fær er 1/x + 1.
Vangaveltur voru fleiri, meðal annars um gildi upplýsinga í þrautalausnum og gildi
þess að prófa sig áfram í leit að lausn.
Verkefni B – Þverstæða Zenóns um Akkilles
Gerð er stutt grein fyrir úrlausnum fjögurra kennaranema. Hvar viðfangsefnið ætti
heima innan stærðfræðinnar gátu þeir ekki fest fingur á, en voru allir sammála um að
þetta myndi teljast þraut. Enginn þeirra gerði sér grein fyrir hvaða aðferðum væri best
að beita til að takast á við verkefnið. Allir þessir nemendur höfðu kynnst undirstöðu-
atriðum örsmæðareiknings í framhaldsskóla, þar með talið hugtakinu markgildi. Þeir
áttu hins vegar eftir að taka námskeiðið Stærðfræðigreining í kennaranámi sínu þar
sem farið er dýpra í sömu hluti. Nemendurnir voru mjög áhugasamir um verkefnið
og fljótir að segjast skilja útskýringu rannsakanda á viðfangsefninu sem var sú sama
og gefin er hér að framan. Lausnin á þverstæðunni um Akkilles felst í því að nýta
hugtök og setningar örsmæðareiknings til að líta á endanlega vegalengd sem summu
óendanlega margra eiginlegra hluta sinna. Nemendur voru beðnir um að ígrunda
hvort það sé trúlegt að summa óendanlega margra jákvæðra liða geti verið endanleg
stærð (sífellt bætist meira við – æ fleiri liðir) og runnu þá tvær grímur á suma: „Mér
finnst það nú skrýtið en auðvitað nær hann henni.“
Þau stærðfræðihugtök sem hér koma við sögu, örsmæð, óendanleg summa og
markgildi, eru nokkuð flókin. Eftir að hafa rifjað upp eðlisfræðiformúluna h · t = v
um sambandið milli hraða, tíma og vegalengdar, tókst þátttakendum í sameiningu að
reikna út sömu niðurstöðu og fæst með aðferðum stærðfræðigreiningar. Með tilstyrk
eðlisfræðinnar sýndu þeir sem sagt fram á að skjaldbakan fer 100/9 fet (og þá nær
Akkilles henni).