Lesbók Morgunblaðsins - 06.01.2001, Blaðsíða 13

LESBÓK MORGUNBLAÐSINS ˜ MENNING/LISTIR 6. JANÚAR 2001 13
væntanlega við tölustafinn „0“, þar sem talan
núll kom vissulega ekki inn í tilveruna árið
1740, heldur hefur hún alltaf verið til, sé hún
á annað borð til. Tölustafurinn „0“ eða jafngilt
tákn var notað skv. mínum heimildum meðal
Forn-Egypta og Súmera og sennilega ann-
arra fornra menningarþjóða eins og Kínverja
og Maja, og var þá notað til að fylla upp í
eyðu í nöfnum talna eða stærða (t.d. til að
greina 101 frá 11).
Varðandi upphaf orðsins „núll“ segir Gunn-
ar það komið úr miðaldalatínu. Jafnvel þótt
latínukunnátta mín sé ekki upp á marga fiska
veit ég ekki betur en að orðið „nullus“ (sem er
leitt af „ne“-, þ.e. ekki og „ullus“, þ.e. einhver)
hafi verið til í klassískri latínu, þ.e. þeirri lat-
ínu sem Rómverjar hinir fornu töluðu. Skv.
heimildum mínum er orðið „núll“ dregið af
ítalska orðinu „nulla“, sem er aftur dregið af
latneska orðinu „nullus“, og innleitt sem þýð-
ing, er náði útbreiðslu í Evrópu frá 12. öld, úr
arabísku (sumir telja að Arabar hafi fyrstir
orðið til að nota tölustafinn núll eða jafngildan
tölustaf).
Gunnar segir stærðfræðinga hafa sýnt fram
á, hvorki meira né minna, að „stærðfræðilega
séð geti núllið verið einn og einn verið núll“:
„Fimm í fyrsta veldi er að sjálfsögðu fimm.
Hvað er fimm í núllveldi? Að sjálfsögðu fimm.
Er þá ekki einn sama sem núll? Jú, stærð-
fræðilega séð.“ En „stærðfræðilega séð“ er
fimm í „núllveldi“, þ.e. 50, ekki fimm, heldur
einfaldlega 1. Það væri líka léleg stærðfræði,
sem gæti sýnt að 0 og 1 séu ein og sama talan.
Gunnar varpar fram þeirri spurningu,
hvort tölur geti verið „takmarkaðar“. Ekki er
ljóst hvað hann á við með þessu, en sennilega
á hann við það hvort tölur séu óendanlega
margar, vegna þess að hann segir „En hvað
gerist eftir að við höfum notað tölu um allar
þekktar stærðir, jafnvel þær stærstu? Er þá
ekki enn hægt að margfalda þá tölu með tíu
og svo áfram endalaust?“. Hvað er „þekkt
stærð“? Sennilega er það einhver stór tölu-
stafur sem einhver hefur hugsað sér. En
segja má, að allar „stærðir“, þ.e. allar tölur,
séu alltaf „þekktar“ (hvað nú sem átt er við
með því), þ.e. við vitum um allar náttúrulegar
tölur (þ.e. 1, 2, 3, ...) að þær eru til (við vitum
að við getum alltaf bætt einum við hvaða
stærð sem er, og haldið áfram eins lengi og
við viljum).
Í sjálfu sér er núll sem tala í rauninni ekk-
ert leyndardómsfyllra en aðrar tölur, t.d. 1
eða -3 eða 2̂. Það sem er kannski leynd-
ardómsfullt er hvað tölur almennt eru: um
það hafa heimspekingar lengi deilt. En núll er
aðeins einn liður í talnaröðinni ...-3, -2, -1, 0, 1,
2, 3, ..., og um það gildir það sama í stórum
dráttum og um aðrar tölur. Núllið er ekki
„upphaf allra talna, allra stærða, allra vega-
lengda“, eins og Gunnar segir (þessi talsmáti
gerir ráð fyrir einhvers konar „framleiðslu“
núllsins í tíma), alveg eins mætti segja að aðr-
ar tölur séu upphaf núllsins (eða allar tölur
séu upphaf hver annarrar), þar sem núllið er í
rauninni rökrétt framhald þegar maður telur
niður á við t.d. frá 3: 3, 2, 1, 0, -1, -2,... Auk
þess gegnir tölustafurinn núll því hlutverki að
gefa öðrum tölustöfum gildi í tíundarkerfinu,
þ.e. t.d. til að greina gildi tölustafsins „1“ í
„10“ (þar sem „1“ táknar tíu einingar) frá
gildi hans í „100“ (þar sem „1“ táknar hundr-
að einingar).
Núll sem tala er í rauninni ekkert annað en
stærðfræðileg sértekning, búin til í því skyni
að uppfylla ákveðnar reglur stærðfræði (t.d.
að 0+a=a, og 0*a=0, þetta er kannski það
sem Gunnar á við með „núll og stærðfræði
eiga samleið“) og talnakerfis þess sem við
notum. Heimspekingar hafa deilt um það,
hvort tölur séu til; sumir segja að þær séu
ekkert annað en tákn sem lúta ákveðnum
reglum (þó að ekki sé þar með sagt að tölu-
stafurinn „0“ og talan 0 sé eitt og hið sama),
aðrir segja að þær séu sértækir hlutir, t.d.
mengi, og enn aðrir segja að þær séu form-
gerðir er við notum til að koma skipulagi á
veruleikann (þeim sem áhuga hafa á stuttri
greinargerð um núllið sem mengi er vísað á
grein mína um núll á vísindavef Háskóla Ís-
lands). Ekki hafa þeir enn sæst á neina eina
niðurstöðu. En „við erum alltaf á leiðinni“.
Hér er ég sammála Gunnari.
ER NÚLL
NÚLL?
E F T I R E R L E N D J Ó N S S O N
Höfundurinn er heimspekingur og prófessor við
Háskóla Íslands.
S
ÖR, SÖR, monní sör,“ segja þau
og benda á magann. Krakkarnir
hópast í kringum mig. Fríðleik-
inn skín í gegnum skítug andlit-
in. Augun eru biðjandi og aum-
kvunarverður svipurinn kallar
fram samúð. Þau grípa í hönd-
ina á mér, toga í fötin eins og
afæturnar sem stelast í agnið í djúpum árhyl.
„Sör, sör, monní sör.“ Konur með ungbörn á
handleggnum bætast í hópinn. Þær rétta fram
höndina, benda á litlu börnin og upp í sig. Litlu
krílin, varla nema nokkurra mánaða, eru líka
farin að betla. Skyldi hjartað bresta og láta
undan? Þegar litið er yfir hópinn er ekki hægt
annað en velta því fyrir sér að láta nokkra rúpía
af hendi. „Sorrí, nó monní, nó monní.“ Látiði
mig í friði. Þau líta biðjandi á mig. Söngurinn
heldur áfram. Það er farið að suða í eyrunum á
mér. Mig fer að sundla. Ég harka af mér og
loka augunum. Þetta er ekki raunveruleikinn.
Mig hlýtur að vera að að dreyma. Suðið heldur
áfram. Veruleikinn er ekki svona. Jú reyndar,
það var búið að segja mér að þetta væri svona.
Sjáðu það eru rikksjoar, hjól og bílar út um allt.
Ökumennirnir flauta hver í kapp við annan til
að komast áfram. Það eru köll og hróp. Það er
verið að kalla á mig. Veifa til mín. Komdu til
mín segja ökumennirnir. „Gúdd præs, gúdd
præs.“ Hvert sem þú vilt fara. Ég bít á jaxlinn.
Hristi höfuðið eins og til að losa meðaumkv-
uninina úr kollinum. Horfi með ísköldum aug-
um á hópinn sem hefur safnast í kringum mig.
„Snautiði í burtu,“ segi ég hastarlega og banda
frá mér með hendinni. Ég held áfram göngunni.
Það er eins og hvíli ský yfir götunni. Lyktin
er öðruvísi en ég á að venjast. Ég átta mig ekki
alveg á því hvaðan hún kemur. Hún er bara ein-
hvern veginn yfir öllu. Sambland af útblæstri
frá bílum og rotnunarlykt. Hlandlykt. Getur
það verið? Ég loka munninum og reyni að anda
eins grunnt og ég get. Úff, er þetta hægt? Er
hægt að lifa hérna? Þurfa ekki allir að fá súr-
efni? Hvað nú? Ávaxtalykt, appelsínur, papaya,
melónur, bananar. Rétt, það er verið að selja
ávexti á gangstéttabrúninni. Við hliðina er sölu-
maður búinn að raða bókum á teppi. Þar næst
við, aðeins lengra, eru slæður, dúkar og fatn-
aður til sölu. Allt lítur þetta mjög vel út og það
er mikið um að vera. Karlar og konur, vel til
fara, eru að skoða vörurnar og sumir eru að
kaupa. Vá, þetta er svo sannarlega öðruvísi en
allt annað sem ég hef séð fyrr. Ætli Guð hafi
látið fólkið, bílana, vörurnar og allt það sem er
þarna detta niður af himninum og það hafi fyrir
tilviljun lent þarna? Samt er það svo skrýtið að
það er eins og einhver skipulagning sé í allri
óreiðunni. Miðað við svipbrigði fólksins er eins
og flestir þarna séu ánægðir með sitt hlutskipti.
Og þó. Þarna er fatlaður maður sem skríður um
á fjórum fótum. Með sandala á hnjánum. Hann
réttir fram hendina. Segir ekki neitt. Það fer
ekki á milli mála hvers hann óskar. Skyldi ég
vera sú félagsmálastofnum sem fátækir og illa
komnir einstaklingar á Indlandi þurfa á að
halda? Nei, það gagnast lítið og skammt að
rétta fram nokkra rúpía til biðjandi fólksins.
Það þarf miklu meira til og það þarf örugglega
meira til en góðan vilja, samúð og nokkra rúpía.
Skyldi ég halda það út í viku? Efinn læðist að
mér. Af hverju var ég að koma hingað? Er ein-
hver þörf á því að upplifa það með þessu fólki
hvað lífið getur verið napurt og kuldalegt? Líka
í þessari þægilegu veðráttu. Það er gott að
koma til baka inn á hótelið. Í verndað umhverfi
þar sem veröldin sýnist allt önnur en sú sem ég
upplifði þarna úti á götu. Verðirnir við hliðið
passa upp á að enginn óviðkomandi fari inn á
hótellóðina. „Afternún sör,“ segja þeir og heilsa
með því að lyfta hendinni upp að enni. Dyrnar
eru opnaðar fyrir mig. Þjónarnir bugta sig og
beygja. Á herbergisganginum eru tveir í „úní-
formi“. Þeir eru svo dökkir á hörund að andlitin
hverfa í rökkrinu. Þeir brosa og heilsa, „aftern-
ún sör“, er allt í góðu lagi? Ég fer inn á her-
bergið ánægður með að fá loksins að vera einn
með hugsunum mínum. Ég verð að fá smátíma
til að melta allt það sem ég hef upplifað í dag.
Einn, loksins einn. Ekkert áreiti. „Ding, dong.“
Við dyrnar stendur annar þjónninn af gang-
inum með blóm í vasa. „Blómin, herra. Ég set
þau á borðið fyrir þig. Er ekki annars allt í
lagi?“ „Jú, allt í góðu,“ segi ég og rétti honum
tíu rúpía um leið og hann lokar dyrunum. Ég
hengi merkið, „vinsamlegast truflið ekki“ utan
á dyrnar. Skyldi það virka? Það er tími til kom-
inn að fara í bað, skola af sér svitann og götu-
rykið. En hugsanirnar og sumar óþægilegu til-
finningarnar skolast ekki niður í bráð.
SVIPMYND FRÁ INDLANDI
Morgunblaðið/RAX
Gamla Delhi. Dögun. Móðir og barn.
E F T I R B I R G I
F I N N B O G A S O N
Höfundur er endurskoðandi.
É
G VIL byrja á því að þakka
Gunnari Dal fyrir stór-
skemmtilega og fróðlega grein
um núllið í Lesbók Morgun-
blaðsins 2. des. 2000, bls. 13. Í
henni fer hann á flug í skáld-
legum hugleiðingum um núllið
og hlutverk þess í sögu manns-
andans í gegnum tíðina og bendir á mörg at-
hyglisverð atriði sem hafa mikið heimspeki-
legt og hugmyndasögulegt gildi. En þótt ég
hafi haft gagn og gaman af grein Gunnars
fannst mér það draga mjög úr gildi hennar
(eða er það kannski það sem gefur henni gildi,
sveipar hana dulúðugum bjarma eða öllu
heldur skugga?) að mér sýnist höfundurinn
gegnumgangandi rugla saman fimm eða sex
hlutum eða hugtökum: a) tölustafnum núll,
þ.e. „0“ (eða samsvarandi tákni), b) tölunni
núll, þ.e. 0, c) hugtakinu núll, d) hugtakinu
„ekkert“ eða „enginn“, e) orðinu „núll“, f) því
sem kallað er „tóm“ (þ.e. „ekkert“, á latínu
„nihil“). Ég vona að Gunnar taki það ekki illa
upp þótt ég geri grein fyrir þessari skoðun
minni og leiðrétti mig ef hann telur tilefni til,
en telji mig ekki aðeins „þrætuspeking“.
Gunnar talar um núllið sem „tómið“ (sem
getur verið í eðlisfræðilegum skilningi, þ.e.
tómarúm, eða frumspekilegum, einhvers kon-
ar „ekkert“). Sem tala er núll auðvitað ekki
„tóm“, þar sem hún er eitthvað (hvað er hún?
Sjá neðar). Hins vegar er núll fjöldatala (þ.e.
sú tala sem segir til um fjölda staka eða ein-
inga mengis eða hóps) allra hópa eða mengja
sem hafa ekkert stak, eru „tóm“. Reyndar er
aðeins til eitt slíkt mengi, nefnilega tóma-
mengið, sem mætti kannski með réttu kalla
„tóm“. „Núllið er ekki neitt“, „núllið er ekki-
veran“, segir Gunnar, en hér ruglar hann
saman tölunni núll og því mengi, þ.e. tóma-
menginu, sem talan núll er fjöldatala á.
Núllið kom „afar feimnislega inn í tilveruna
árið 1740“, segir Gunnar líka, en þar á hann