Tímarit Verkfræðingafélags Íslands - 22.12.1921, Side 10

60
T í M A R I T V. F. I. 1 9 2 1.
Wenn A und B und die Agensmengen in diesen Punk-
ten ex und e2 und Punkt P bekannt sind, ist es leicht,
Q, durch Konstruktion zu finden.
b a
Erst findet man m2 = e^ — und nij = e2 t~,
8, b
worin a and b die bekannten Entfernungen AP und
BP sind; m^ und m2 dienen dazu, das Parallelogramm
PFEGr zu zeichnen. Seine Diagonale PE oder ihre
Verlangerung schneidet AB in Q,.
Leichter ist es jedoch, Q auf eine andere Weise
zu bestimmen, und da der Satz, auf dem die Methode
beruht, auch in einem anderen Zusammenhang Be-
deutung hat, will ich darauf eingehen.
e^ _ a
Da-----— — ist, ist die Gerade, die die End-
m2 b
punkte von e, und m2 verbindet, parallel AB, wenn ex
und m2 auf PA und BP von P aus abgetragen werden.
Dasselbe gilt nattirlich von e2 und m,. Die Resultante
von m, und m2 oder mit anderen Worten die Dia-
gonale in dem Parallelogramm, das P als Eckpunkt
und mt und m2 als Seiten hat, endet deshalb in
derselben Entfernung von AB wie die „Resultante“
von e, und e2. Dies ist auch dadurch bewiesen, dass
wenn die Resultante der Agensmengen in P PZ = e’
e’ _
und ferner PC = r’ ist, das Potential ~~
r
PZ
PC
e
r
— ist. Daraus aber folgt: ZE II BA. Wenn diese
Resultanten als Krafte betrachtet wíirden, wiirde die
Komponente von ihnen, die winkelrecht auf AB steht,
bei beiden gleich sein; sie möge k heissen. Eerner
ist leicht zu sehen, dass díis Drehungsmoment von e^
und e2 mit Riicksicht auf A ebenso gross ist wie das
Drehungsmoment von m^ und m2 mit Riicksicht auf
B, nur mit umgekehrter Richtung.
Da die Resultante oder ihre Verliingerung von
mj und m2 AB in Q und die Resultante von e^ und
e2 diesselbe Gerade AB in C schneidet, sind die
Motnente k.AC und k.BQ, da nur die Komponente
der Vektoren, die senkrecht auf AB steht, hier zur
Geltung kommt. Da aber diese Momente gleich sind,
nur mit entgegengesetztem Verzeichen, wird k.AC
= — k.BQ oder AC = — BQ = QB.
Q ist daher ebensoweit von B wie C von A ent-
fernt, aber die Richtung ist entgegengesetzt.
Der Punkt C ist vorher genannt worden; er wird
leicht gefunden, indem man die Agensmengen e, und
e2 bei P einzeichnet, und wenn C gefunden ist, wird
Q leicht gefunden, indem man BQ = CA auf BA ab-
triigt. Wenn C zwischen A und B liegt, liegt Q es
ebenfalls; aber wenn C ausserhalb AB liegt, liegt Q
in gleicher Entfernung auf der entgegengesetzten
Seite.
Vorher ist gesagt worden, dass C sich nicht
verschiebt, wenn P sich auf einem gewissen Kreis-
bogen bewegt. Aus dem eben Gesagten geht her-
vor, dass der Punkt Q sich dann ebenfalls nicht
verschiebt. Ktinftig wird Punkt Q Pol des Kreises
genannt, der durch P geht.
Q ist leicht zu bestimmen, wie hier gezeigt wor-
den ist, obgleich e, und e2 nicht als Grössen gegeben
sind, wenn nur ihr Verhaltnis bekannt ist.
Nun ist die Aufgabe leicht geometrisch zu lösen,
die Niveaulinie zweier Agensmengen, die in A und
B sind, zu zeichnen, wenn zwei Punkte P und R
einer Niveaulinie bekannt sind, und ferner das Ver-
haltnis zwischen den Agensmengen zu bestinnnen.
Selbstverstandlich muss die Niveaulinie in der-
selben Flache sein wie die Agensmengen.
Auf der Geraden AP, die gezeichnet ist, finde
ich den Punkt E so, dass AE=AR ist, ebenso auf
BP den Punkt F so, dass BF = BR ist. Die Gerade
EF sehneidet dann die Gerade AB in Q (in Fig. 9
ist Q nicht eingezeichnet), und wenn der Pol Q
gefunden ist, ist es leiclit, auf der Niveaulinie
beliebig viele Punkte zu bestimmen, indem man
von Q Geraden zieht, die aus AP und BP r,
und r2 ausschneiden. Die Niveaulinie geht durch den
Punkt, wo der Kreis mit dem Mittelpunkt A und
dem Radius r, den Kreis mit B als Mittelpunkt und
r2 als Radius schneidet. Das Verhaltnis der Agens-
mengen wird gefunden, indem man C auf AB so be-
stimmt, dass AC = QB ist. C ist dann der Punkt,
wo die Resultante der Agensmengen von P die Gerade
AB schneidet, und das Verhaltnis zwischen den
Agensmengen wird gleich dem Verhaltnis der Seiten
des Parallelogrammes, das PC als Diagonale und Sei-
ten parallel AP und BP hat.
Aus der Lage des Parallelogrammes gelit hervor,
ob das Verhaltnis positiv oder negativ ist. In Fig.
9 ist es negativ.
Die gewöhnlichste Aufgabe bei der Zeichnung
der Niveaulinie ist, wenn die Agensmengen e^ und
e2 und die Punkte A und B, in denen sie liegen,
gegeben sind, die Niveaulinie zu finden, die das ge-