Tímarit Verkfræðingafélags Íslands - 22.12.1921, Side 12

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TÍMARIT V. F. I. 1921.
Kraftrichtung.
Da man mit Konstruktion jeden Punkt auf der
Niveaulinie zweier Agensmengen leicht bestimmen
kann, ist es wahrscheinlich, dass es auch möglich
sei, die Tangente und die Normale in einem gege-
benen Punkt an diese Bogenlinien zu ziehen. Be-
sondere Bedeutung hat es, die Normale ziehen zu
können, weil sie die Richtung der Kraft zeigt. Um
zu zeigen, dass dies möglich ist, habe ich die Fig. 11
gezeichnet. In A und B sind die Agensmengen ei
und e2, die Resultante der Agensmengen ftlr den Punkt
P endet in C, und Q ist der zugehörige Pol. Die
Gerade von Q nach P ist ein wenig um Q, gedreht
und schneidet dann AP in L’ und BP in R’. Die
Gerade QR’ L’ ist dann so nahe daran, eine Paral-
lele zu QP zu sein, dass, wenn die Gerade RL II QP
gezogen wird,
PL’
PR’
PL
PR
wird. Die Kreise, die
A und B als Mitteipunkte und AL’ und BR’ als Radien
haben, schneiden sich dann in S’, und man kann
sich leicht tiberzeugen, dass, wenn unendlich kleine
Grössen 2. Grades vernaclilassigt werden, S’ auf der
Geraden PS liegt, wenn LS L PL und RS L PR
stehen. Damit wird die Gerade PS Tangente an die
Niveaulinie im Punkte P. Heisst der Winkel der
Normale mit PL a, so ist
a = 90° — L SPL = L PSL = L LRP = L QPB.
Die Normale in P bildet also denselben Winkel
mit AP wie QP mit BP. Folglich sind die Normale
in P und die Gerade PQ symmetrische Linien mit
Hinblick auf die Halbierungslinie des Winkels bei P.
Wenn die Normale AB in N schneidet, sind die
Punkte Q und N harmonische Punkte zu den End-
punkten des Durchmessérs desjenigen Kreises, der
dem Pol Q entspricht.
Der Kreis, der durch P und die Punkte geht,
wo die Halbierungslinie des Winkels APB und seines
Nebenwinkels AB schneiden, hat die Eigenschaft,
dass die Resultante, dié jédem seiner Punkte ent-
spricht, durch denselben Punkt C auf AB geht, und
alle Punkte des Kreises liaben ihren Pol in demsel-
ben Punkte Q. Ferner ist die Richtung der Kraft
in jedem seiner Punkte auf denselben Punkt N auf
AB gerichtet, der harmonisch zum Pol ist. Analytisch
ist dieser Satz von der Richtung der Kraft leicht
zu beweisen, und dieser Beweis ist derart allgemein,
dass er fiir eine Kategorie von Niveaulinien gilt.
Ich nehme an, die Gleichung ftir die Niveau-
n n
linie sei ei ri +e2ri = p; Ilierin ist ri dieEntfernung
voin Punkte A und r2 die Entfernung vom Punkte
B. Ich wáhle ein rechtwinkliges Koordinatensystem
so, dass die Kordinaten von A sind (a, 0) und die
von B (b, 0). Dann erhált man durch Differenzierung:
(e, r, " 2 [x—a] + e2 r2 ” 2 [x—b]) dx
+(ej r, + e2 r2 ) y dy = 0,
n—2 n—2
y dy , . e, a r, + e2 b r2
oder -—r-- = — 1 + —---------------5---—
X dx n—2 , n-2 N
x (et r, + e2 r2 )
Nun geht die Normale durch den Nullpunkt,
wenn ^ ^ = — 1 ist, und dann ist
x dx
1,-2 i > 1,-2 _n
e, a Tj + e2 b r2 = 0
r2 n—2
ri
Hieraus folgt: die Bedingung dafur, dass die Nor-
male durch den Nullpunkt geht, ist, dass das Ver-
háltnis — konstant ist, d. h. die Punkte mtissen auf
L
einem Kreise liegen. Dies gilt fur alle Niveaulinien
wenn das Potential von der Formel
n n _®i , 1— |rr r2__
ei L + e2 r2 = P und ebenso 10S c~ ' c 8 C ~P
ist. Differenzierung der lezter Gleichung ergibt die
Bedingung fur die Normale im Nullpunkte, dass
^ = — — j— 2 i8t.
b ex Jr2(
In dem Fall, der hier behandelt worden- ist, ist
n = — 1, und dann wird ^ = — — |—
b ei i r2
p
Wenn die Verháltnisse — und — bekannt sind,
ei r2
a
kann man auch das Verháltnis r durch Konstruktion
b