Tímarit Verkfræðingafélags Íslands - 01.12.1918, Blaðsíða 3

TÍMARIT V. F. í. 1918.
Eine Lösung des Malfattischen Konstruktionsproblems.
In der Sitzung des Vereines islandischer Ingenieure vom 2. April 1918 vorgetragen
von Herrn Dr. phil. Ólafur Danielsson.
Das Problem lautel: Wenn ein Dreieck ABC ge-
geben ist, soll man drei Kreise Sa, Sr und Sc so
konslruieren, dass Sa die Seiten AB und AC, S« die
Seiten BA und BC, und Sc die Seiten CA und CB
bertihrt. Jeder Ivreis soll ausserdem die zwei ande-
ren beriibren.
Es sei eine kleine Bemerkung vorausgeschickt.
Wenn eine Gerade von zwei gleichen Ivreisen in den
Punkten A und B beriihrt wird, und ein dritter
Kreis, der die Gerade im Punkte P beriihrt, den
ersten Kreis beriibrt und den zweiten schneidet, liisst
sich das Verhiiltnis der Stiicke PA und PB als
Funktion des Schnittwinkels der letstgenannten
Kreise ausdriicken. Aus Fig. 1 ergiebt sich: AP2 =
4Rr; BP2 = 2Rr(l -f- cos v) und alsdann PB : PA
= cos v/2 (ohne Riicksicht auf das Vorzeichen).
Nunmehr wollen wir uns denken, dass das Pro-
blem gelöst wáre. Die Kreise Sa und Sb beriihren
in einem Punkte X einander. Es sei nun die ganze
Figur invertiert mit X als Inversionszentrum. Die
Potenz der Inversion ist ganz willkiirlich. Die inverse
Figur ist in Fig. 2 abgebildet. Die Kreise SA und Sn
werden in die Parallele a und b, der Kreis Sc in S,
und die Geraden BC, CA und AB in die Kreise Si,
S8 und S;i invertiert. Die letztgenannten Kreise
schneiden sich im Inversionszentrum. Die Winkel
des Dreiecks sind den Schnittwinkeln der Kreise Si,
S2 und S;, gleich. Es werden dann — der Einleitungs-
bemerkung gemiiss — die Stucke NQ und NL (Fig.
2), und daher auch die Stiicke QN und QL in einem
bekannten Verháltnisse stehen, und auch die Sliicke
PM und PK. Nunmehr sind die Stucke QL und PK
einander gleich und es wird daher das Verháltnis
der Stiicke PM und QN eine bekannle Grösse sein.
! : p Aí A
Weiter sei der Kreis S:, aus der Fig. 2. ausgelassen
und die Restfigur mit P als Inversions-zentrum und
PQ2 als Inversionspotenz invertiert (Fig. 3.). Die
Gerade a wird dann in sich selbst, die Gerade b
und der Kreis S in einander invertiert. Auch der
Kreis S, wird in sich selbst invertiert, wáhrend S»
in einen Kreis S4 iibergeht, der die zwei Paralellen
in U und V beriihrt. Der Schnittwinkel der Kreise
S, und S4 ist C (gleich dem Schnittwinkel der Kreise
S4 und S2). Es sind nunmehr M und U Korrespon-
dierende Punkte der letzteren Inversion und daher
PM • PU = PQ2. Dieses Produkt kann als bekannt
aufgefasst werden, da der Abstand der Parallelen
ganz willkúrlieh ist; weiter ist das Verháltnis
QN : QV = QN : PU bekannt, und hieraus ergiebt
P AA.lL-
sich das Produkt PM • QN, in dem PM • QN
= (PM • PU) • (QN : PU). Es war das Verháltnis