Morgunblaðið - 15.07.1990, Blaðsíða 11

og er það kveikjan að þessu greinar-
korni. Það verður þó að segjast eins
og er að fyrir leikmann í fræðunum
getur verið býsna strembið að fylgj-
ast með samræðum slíkra manna,
þegar andinn er kominn á flug og
umræðan farin að snúast um hug-
tök og fyrirbæri, sem maður hefur
aldrei heyrt nefnd. Hér verður held-
ur ekki gerð tilraun til að reyna á
þolrif lesenda í þeim efnum heldur
stiklað á stóru og umræðan einföl-
duð svo sem verða má. Sjálfsagt
mun vísindamönnunum þykja sú
úttekt heldur þunnur þrettándi og
eru þeir beðnir velvirðingar á þeirri
meðhöndlun sem fróðleg og bráð-
skemmtileg samræða þeirra fær hér
á eftir.
Ég spurði þá fyrst um þýðingu
og stöðu stærðfræðinnar meðal
vísindanna nú á dögum og Rubin-
stein kvað strax upp úr um það,
að stærðfræðin hefði aldrei verið
þýðingarmeiri en einmitt nú:
„Stærðfræðin hefur vissulega
verið notuð dagsdaglega, bæði af
almenningi og vísindamönnum, frá
örófi alda, en ég held að þýðing
hennar fyrir framþróun mannkyns-
ins hafi aldrei verið meiri en nú.
Með allri þeirri tækniþróun sem átt
hefur sér stað á undanförnum
árum, í tölvutækni, geimvísindum
og raunvísindum almennt, gegnir
stærðfræðin lykilhlutverki, sem
verður þýðinganneira með hveijum
deginum. Og þetta er víxlverkandi
því að með tölvunum hafa opnast
gríðarlegir möguleikar á sviði
stærðfræði og raunvísinda, sem
voru óhugsandi áður ...“
Og Sigurður bætir við: „Ef við
fjöllum svo um stærðfræðina sjálfa
þá eru stærðfræðingar sífellt að
fást við ný og ný vandamál. Rann-
sóknir varðandi þau byggjast á því
að skoða tilgátur og kenningar, sem
þegar hafa verið formaðar og sann-
aðar, útvíkka þær síðan og bæta
með raunhæfum aðferðum. Þannig
myndast ný sjónarmið og dýpri
skilningur. Það sem gerir stærð-
fræðina einstaka meðal vísindanna
er að í sérhverri stærðfræðikenn-
ingu er samankomin gífurleg hug-
arorka, sem hefur verið þjappað
saman. Kenning, sem ef til vill hef-
ur tekið aldir að forma er kannski
útskýrð í einni línu. Það er þessi
samþjöppun hugarorku, sem gerir
stærðfræðina svo sérstaka. í engri
fræðigrein er þekkingin sett fram
á jafn nákvæman og einfaldan hátt
og í stærðfræðinni. Annað er að í
stærðfræðinni eru menn alltaf að
rekast á eitthvað sem kemur þeim
á óvart. Mestu uppgötvanir í stærð-
fræði, og reyndar í eðlis- og efna-
fræði líka, eru þær sem koma öllum
á óvart. Það er eitt gleggsta merki
þess að uppgötvunin er frumleg...“
- Hér finn ég mig knúinn til að
grípa inn í með þeirri fullyrðingu
að sem leikmanni finnist mér að
það hljóti að vera búið að uppgötva
alla leyndardóma stærðfræðinnar
og reikna flest dæmi til enda. Tök-
um margföldun sem dæmi. Það er
fjandakornið ekki hægt að bæta við
margföldunartöfluna ...?
Þeir líta snöggt hvor á annan og
brosa góðlátlega yfir þessari frá-
leitu staðhæfingu. Síðan segir Sig-
urður:
„Stærðfræðin er blómstrandi
fræðigrein nú á dögum og ástæðan
fyrir því er að hún stendur á svo
traustum grunni. Það er hægt að
byggja á formúlum ur fortíðinni án
þess að vera með nokkra fyrirvara
um hvernig þær formúlur eru sann-
aðár, — hugsanakeðjuna má hik-
laust flétta áfram. Þetta er einstök
fræðigrein, eitt af glæsiverkum
mannsandans ...“
Rubinstein kinkar kolli og segir:
„Ég er hjartanlega sammála." —
Og nú fara þeir félagar að ræða
saman um efni sem er öldungis
fyrir ofan skilning þess sem þetta
ritar, þar sem aðeins voru gripin
orð og hugtök á stangli svo sem
um „svörtu holuna í alheiminum"
og veðurfræðileg hugtök svo fátt
eitt sé nefnt. En inntakið var óend-
anlegir möguleikar stærðfræðinnar
og ótvírætt notagildi hennar í nú-
tímanum.
Erfðir og umhverf!
Með lagni tekst mér að beina
MORGUNBLAÐIÐ SUNNUDAGUR 15. JÚLÍ C 11
Dr. Moshe Rubinstein
prófessor við UCLA
Moshe Rubinstein er fæddur í '
Póllandi árið 1930, en ólst
upp í ísrael. Árið 1950 fór
hann til náms í Bandaríkjunum
og lauk doktorsprófi í byggingar-
verkfræði árið 1961 frá Kali-
forníu-háskóla í Los Angeles (UC-
LA). Hann vann við verkfræði-
störf í nokkur ár, en hefur frá
árinu 1961 verið prófessor við
UCLA-háskólann. Hann var deild-
arstjóri í verkfræðideild skólans á
árunum 1970 til 1975. Hann hef-
ur unnið til fjölmargra viðurkenn-
inga fyrir kennslu. Arin 1967 til
1968 kenndi Rubinstein við Israel
Institute of Tecnology og hann
var Fulbright-Hays-styrkþegi í
Júgóslavíu ogEnglandi árin 1975
til 1976.
Rubinstein hefur samið þijár
bækur í byggingarverkfræði, en
einkum hefur hann getið sér
frægð fyrir bækur sínar og fyrir-
lestra um þrautalausnir (problem
solving), en eftir hann liggja þijár
bækur um það efni, auk fjöl-
margra greina. Hann er talinn
einn fremsti vísindamaður á þessu
sviði. Hann er ráðgjafi ýmissa
stórfyrirtækja, meðal annars IBM
og AT&T og hefur haldið nám-
skeið í Kína, Japan, Nýjá-Sjálandi
og ijölmörgum öðrum löndum.
Dr. Rubinstein kom til íslands
árið 1986 í boði Menningarstofn-
unar Bandaríkjanna og hélt þá
Morgunblaðið/KGA
Dr. Moshe Rubinstein
hálfs mánaðar námskeið fyrir
raungreinakennara. í heimsókn
sinni nú hélt hann eins dags nám-
skeið fyrir yfirmenn í fyrirtækj-
um. Þátttakendur voru á einu
máli um að hann væri óvenjulega
líflegur fyrirlesari og hefði gott
lag á því að vekja fólk til umhugs-
unar um eðli vandamála.
umræðunni niður á jarðbundnara
svið og spyr hvort menn séu fædd-
ir með stærðfræðigáfuna eða hvort
hægt sé að þjálfa slíka hæfileika
með einhveijum aðferðum:
Sigurður svarar fyrst: „Ákveðnar
vísbendingar gefa til kynna að
stærðfræðigáfan sé arfgeng, en
hafa verður þó fyrirvara á slíkum
fullyrðingum. En það er vissulega
hægt að benda á nokkrar ,/stærð-
fræðifjölskyldur", til dæmis Berno-
ulli-bræðurna og Selberg-bræðurna
í Noregi. Hins vegar ber þess að
gæta að þeir ólust upp í stærðfræði-
legu umhverfi þannig að þetta er í
sjálfu sér engin sönnun. Það eru
fjölmörg dæmi um slíkt á öðrum
sviðum, til dæmis í tónlist, og næg-
ir þar að benda á Mozart ...“
Og Rubinstein bætir við: „Það
hafa verið leidd sterk rök að því
að greind, ekki aðeins stærðfræði-
gáfa, sé arfgeng og ég held að við
verðum að ganga út frá því að
ákveðnu marki. Vel þekktur banda-
rískur vísindamaður hélt því til
dæmis fram að svertingjar ættu
erfiðara með að stunda langskóla-
nám en aðrir, án þess að ég vilji
hér taka afstöðu til þeirrar kenning-
ar. Reyndar varð allt vitlaust í
Bandaríkjunum þegar hann kom
fram með hana. En hann byggði
þetta á rannsóknum og taldi rangt
að vera að halda þessu fólki að viss-
um greinum háskólanáms, svo sem
stærðfræði, sem hann taldi að það
réði ekki við. En það eru líka dæmi
um snillinga á sviði stærðfræðinn-
ar, sem komnir voru af fólki sem
vissi ekki hvað stærðfræði var. En
það sannar heldur ekkert því forfeð-
urnir höfðu líklega ekki aðstöðu til
að stunda háskólanám. Ég held hins
vegar að þetta geti og hljóti að
vera samspil margra þátta og að
það verði einnig að taka tillit til
umhverfis og uppeldis, eins og Sig-
urður benti á. Menn geta til dæmis
velt því fyrir sér hvers vegna hlut-
fallslega fleiri gyðingar hafa hlotið
Nóbelsverðlaun en menn af öðrum
stofni. Ég held að þarna grípi trúar-
brögðin inn í svo og uppbygging
samfélagsins. Hinir greindustu í
hveiju gyðingasamfélagi urðu rabb-
íar, og þeir lögðu stund á lærdóm
og fræðimennsku. Það var líka við-
tekin skoðun að slíkir gáfumenn
ættu að eiga sem mest af börnum
og þeim voru búin fjárhagsleg skil-
yrði til þess. Þannig fengu hinir
hæfustu ávallt tækifæri til að
þroska hæfileika sína við bestu fá-
anlegu skilyrði hveiju sinni. Eflaust
hafa jafnmörg og kannski fleiri
séní meðal Kínveija eytt allri ævi
sinni á hrísgijónaakrinum, þar sem
hæfileikar þeirra voru aldrei upp-
götvaðir. Ég held því að þetta sé
samspil umhverfis og erfða ...“
Sigurður: „Ég held að best sé
að halda báðum möguleikum opnum
og slá engu föstu í þessum efnum ...
— En hvað um þá fullyrðingu,
að góðir skákmenn séu yfirleitt
miklir stærðfræðingar?
Sigui'ður: „Hæfileikarnir eru
svipaðir. Emanuel Lasker var
stærðfræðingur og heimsmeistari í
skák í ein 27 ár. Hins vegar lagði
hann stærðfræðirannsóknir á hill-
una eftir að skákin náði tökum á
honum. Ég held að John Nunn sé
annað dæmi. Sá sem stundar stærð-
fræðirannsóknir hefur varla tíma
til að þjálfa sig upp í verulegan
skákstyrkleika. En við stærðfræð-
ingar kunnum að meta það sam-
bland af ímyndunarafli og rökfimi
sem kemur fram í skákinni. Keppn-
ishlið skákíþróttarinnar skiptir okk-
ur minna máli.“
Aldur og afrek
I umræðunni sem á eftir fór var
víða komið við og meðal annai-s
fjallað um gildi vísinda fyrir mann-
kynið. Þar voru einnig rifjaðar upp
sögur af einstökum snillingum inn-
an stærðfræðinnar og vangaveltur
um á hvaða aldursskeiði vísinda-
menn afrekuðu mest. Ekki er unnt
að rekja þær samræður í smáatrið-
um en við grípum inn í þegar Rubin-
stein spyr Sigurð hvort það sé satt,
að flestar af merkilegustu uppgötv-
unum stærðfræðinnar hafi verið
gerðar af mönnum innan við þrí-
tugt...
Sigurður: „Nei, ekki alveg svo
ungum mönnum. Það hefur frekar
verið á aldrinum milli þrítugs og
fertugs. Undantekningar eru þó
nokkrar, til dæmis Norðmaðurinn
Abel, Frakkinn Galois og á síðari
tímum indverski stærðfræðingurinn
Ramanujan, sem gerði margar upp-
götvanir í talnafræði rúmlega
tvítugur. Það merkilegasta við hann
var kannski það, að hann var sjálf-
menntaður og hafði aldrei hlotið
neina hskólamenntun í stærðfræði.
Hann sendi hins vegar breska
stærðfræðingnum Hardy niðurstöð-
ur sínar, og sumar þeirra voru þekkt
fyrirbæri, sem hann, vegna mennt-
unarskorts, vissi ekki að þegar
höfðu verið uppgötvaðar, en annað
í niðurstöðum hans var nýtt af nál-
inni, sem lærðustu mönnum í stærð-
fræði hafði aldrei dottið í hug og
það út af fyrir sig er stórmerki-
legt. En að mínum dómi er Elie
Cartan áhrifamesti stærðfræðingur
fyrri helmings þessarar aldar og
hann setti fram sínar merkustu
kenningar um sextugt. Um þetta
eru auðvitað skiptar skoðanir og
margir telja David Hilbert fremstan
meðal stærðfræðinga fyrri hluta 20.
aldar og hann fer vissulega þekktari
en Cartan enda var hann ijölhæf-
ari. Cartan var langt á undan sinni
samtíð. ítalinn Levi og Þjóðverjinn
Weyl voru næstum þeir einu sem
eitthvað lögðu til málanna á sviði
Cartans fram að 1930 ...“
— Ekki er ástæða til að rekja
hér nánar skoðanaskipti þeirra Sig-
urðar og Rubinsteins um einstaka
stærðfræðinga eða hvort aldur
þeirra hafi skipt sköpum. Sigurður
benti á að með aldrinum kæmi
reynslan og að hún hefði yfírleitt
kosti. Hins vegar gæti reynslan
stundum teymt menn framhjá réttu
leiðinni til uppgötvunar. Rubinstein
gat um dæmi þar sem reynsluleysið
hefði beinlínis leitt af sér nýjar
uppgötvanir, svo sem þegar Marc-
oni uppgötvaði útvarpsbylgjur.
Hann hefði ætlað sér að senda
bylgjur beint á milli tveggja staða,
sem allir vissu að var óframkvæm-
anlegt, en uppgötvaði í staðinn að
hægt var að endurkasta bylgjunum
frá jónahvolfmu.
Er stærðfræðin listgrein?
— Ég spyr af rælni hvort hægt
sé að líta á stærðfræði sem list-
grein ...
Sigurður: „Þar myndi ef til vill
vera tekið full djúpt í árinni. En
mér finnst margt í stærðfræðinni
hafa á sér listrænan blæ. Fátt veld-
ur eins djúpri og langvarandi
ánægju eins og það að finna sönnun
á nýrri, langþráðri stærðfræðisetn-
ingu. Þegar Ungveijinn Bolyai fann
möguleikann fyrir ó-evklíðískri geo-
metríu skrifaði hann föður sínum:
„Ég hef skapað nýjan heim úr
engu ..."
— En hefur þú einhvern tíma
fengið þá tilfinningu að stærðfræði-
fonnúla sé virkilega falleg ...?
„Já, vissulega. Fegurð formúl-
unnar skiptir talsverðu máli. Hins
vegar má segja að fegurð og mikil-
fengleiki stæi-ðfræðinnar felist enn
frekar í notagildi hennar, — bæði
í stærðfræðinni sjálfri og á öðrum
sviðum ...“
Rubinstein: „Þetta hljómar sann-
færandi. En mig langar til að spyija
á móti. Getum við aðeins kallað það
list, sem okkur þykir fallegt? Að
mínum dómi þarf hlutur ekki endi-
lega að vera fallegur til að kallast
list. Listaverk geta komið við til-
finningar manna með ýmsu móti,
ekki aðeins með því að vekja að-
dáun. Listaverk getur vakið með
mönnum dapurlegar hugleiðingar
og auðvitað getur það líka glatt
menn án þess að þeim þurfi endi-
lega að þykja það fallegt ...“
Sigurður: „Ég á við list sem er
í senn fögur, hrífandi og hvetjandi.
Ég er sammála að sú lýsing sé
engan veginn tæmandi ...“
Hér er umræðan komin út á
heimspekilegar brautir og mér þyk-
ir vissara að draga mig í hlé enda
var ætlunin með þessu greinarkorni
aldrei önnur en sú að vekja örlitla
athygli á stærðfræðinni sem fræði-
grein og þessum • tveimur ágætu
vísindamönnum og störfum þeirra.
Dr. Sigurður Helgason
prófessor við MIT
Sigurður Helgason er fæddur
á Akureyri 1927. Þar ólst
hann upp og lauk stúdents-
prófi frá MA 1945. Hann stund-
aði nám við verkfræðideild Ilá-
skóla íslands í einn vetur að loknu
stúdentsprófi, en hóf síðan nám í
stærðfræði við Kaupmannahafn-
arháskóla og lauk þaðan magist-
ersprófi 1952. Þarvarhann
sæmdur gullheiðursmerki skólans
fyrir ritgerð sem leysti stærð-
fræðivandamál sem háskólinn
hafði boðið út. Ritgerðin kom
síðar út í minningariti um Harald
Bohr. Sigurður hlaut Fulbright-
styrk árið 1952 og stundaði á
næstu árum framhaldsnám við
háskólann í Princeton í Banda-
ríkjunum og lauk þaðan doktors-
prófi í stærðfræði 1954. Hann
stundaði um skeið kennslu við
Princeton-háskóla, Chicago-
háskóla og Columbia-háskóla í
New York. Frá árinu 1960 hefur
hann kennt við Massachussets
Institute of Technology í Boston
og verið prófessor þar síðan 1965.
Snemma á ferli sínum fór Sig-
urður að setja mark sitt á þróun
stærðfræðinnar, ekki síst með
undirstöðuverki sínu „Differential
Geometry and Symmetric Spaces“
frá árinu 1962, sem aflaði honum
heimsfrægðar á sviði stærðfræð-
innar. Eftir Sigurð liggur fjöldi
greina um stærðfræðileg efni í
tímaritum og safnritum svo og 6
bækur um sama efni. Um þessar
mundir vinnur hann að öðru bindi
á verki sínu „Groups and Geo-
metric Analysis", en hið fyrra kom
út árið 1984. Sigurður hefur verið
eftirsóttur fyrirlesari, bæði á ráð-
stefnutn víða um heim og við
Dr. Sigurður Helgason
ýmis tækifæri. Hann hefurverið
meðlimur í Vísindafélagi Islend-
inga síðan 1960, í Vísindaaka-
demíu Bandaríkjanna (American
Academy of Arts and Sciences)
frá 1970 og Konunglegu dönsku
vísindaakademíunni frá 1972.
Hann var sæmdur heiðursdokt-
orsnafnbót við Háskóla Islands
1986 og við Kaupmannahafnar-
hásþóla 1988. Sigurður hefur
unnið til viðurkenninga fyrir
kennslu og fyrir bókina „Groups
and Geometric Analysis", sem
áður var getið, fékk hann bóka-
verðlaun Ameríska stærðfræðifé-
lagsins árið 1988, Steel Prize-
verðlaunin.