Tímarit Verkfræðingafélags Íslands


Tímarit Verkfræðingafélags Íslands - 01.12.1964, Page 15

Tímarit Verkfræðingafélags Íslands - 01.12.1964, Page 15
TÍMARIT VFl 1964 71 hér eru aðeins fernskonar ytri kraftar mögu- legir, P„ P;,, P3, P4, þ.e. allir ytri kraftar, sem byggingin verður fyrir, eru viss sambönd af kröftunum P (mynd l(b)). Við gerum ráð fyrir því í upphafi, að allir stafir fagverksins verði fyrir togi, sem við köllum F„ F2, F3, F., og F-, á mynd l(c). Nú má túlka ytri kraftana P með innri kröft- unum F samkvæmt líkingunum Fj.Fj.F3.F4 °s f& P1 = F! coso^ - Fj - F6 coso5 P2 = F^sinoj + F6 sina6 (1) P3 = F2 - F3 Cosa3 + F4 COSa4 P4 = Fg sina3 + F4 sina4 Þessar líkingar má rita á matrixuforminu [ph.l = ( A 14.s [ F ] 6xl þar sem -cosa5 + sina5 0 0 [Ah.5 + 0080^ -1 0 0 isina. (2) Matrixan A kallast statíska matrixa fagverks- ins á mynd 1. Það er eftirtektarvert, að A er kyggð eingöngu á geómetríu fagverksins. Mynd 1. Ef mögulegur fjöldi ytri krafta er kallaður nP og fjöldi innri kraftanna nF, er auðvelt að sanna, að statisk ræðni krefst þess, að nP = nF enda þótt það skilyrði eitt sé ekki fullnægjandi. Þegar nF>nP er fagverkið statískt órætt. Sé nP = nF er A ferningsmatrixa (raðir og súlur matrixunnar A eru jafnmargar) og er þá hægt að rita (2) sem [F] = [ A ] [pVi (3) þar sem [A]-1 er úthverfan (inversion) af A. Líkingu (3) má rita á almennara formi [ F hD>n. =IA]:t,- [PL. (4) þar sem nh er fjöldi mismunandi hleðslna á fag- verkið (sjá síðar). Ef A er ekki ferningsmatrixa, þ.e. ef fagverkið er statískt órætt er [A]-1 ekki defineruð og líking (3) hefur þar af leiðandi enga merkingu. Þetta er eðlilega í samræmi við þá staðreynd, að statískt óræð bygging verður að uppfylla geómetrísk skilyrði auk þeirra statísku, er hún aflagast vegna áhrifa ytri krafta. Séu tilfærslur (displacements) liðanna í fag- verkinu vegna áhrifa kraftanna P kallaðar X (mynd l(d)) og lengingar stafanna e (mynd 1 (e)) má sýna fram á, að [ e1 = [AT ] r x i vnp V"h eða í samræmi við (4) (5) þar sem AT er vending (transposal) statísku matrixunnar A. Þetta má fullvissa sig um við athugun á mynd l(d) og gildir almennt eins og sanna má. Samkvæmt lögmáli Hooke’s gildir, að F = ( EA/L ) e (7) þar sem E er elastiski stuðullinn, A er þver- skurðarflatarmálið og L er lengd stafsins. Lík- ingu (5) má rita á matrixuforminu [ F 1 = f S 1 V"h ‘ JnF’nF [«] V"h þar sem (8) [S1V"f EAj/Lj 0 .... 0 0 EAj/Lj •••• 0 0 0 .... EAn/L„ (9) S kallast stífnimatrixa fagverksins. Eins og fyrr er skyldleika ytri og innri krafta lýst með lík- ingunum

x

Tímarit Verkfræðingafélags Íslands

Direct Links

If you want to link to this newspaper/magazine, please use these links:

Link to this newspaper/magazine: Tímarit Verkfræðingafélags Íslands
https://timarit.is/publication/860

Link to this issue:

Link to this page:

Link to this article:

Please do not link directly to images or PDFs on Timarit.is as such URLs may change without warning. Please use the URLs provided above for linking to the website.