Tímarit Verkfræðingafélags Íslands - 01.12.1964, Qupperneq 15

TÍMARIT VFl 1964
71
hér eru aðeins fernskonar ytri kraftar mögu-
legir, P„ P;,, P3, P4, þ.e. allir ytri kraftar, sem
byggingin verður fyrir, eru viss sambönd af
kröftunum P (mynd l(b)). Við gerum ráð fyrir
því í upphafi, að allir stafir fagverksins verði
fyrir togi, sem við köllum F„ F2, F3, F., og F-,
á mynd l(c).
Nú má túlka ytri kraftana P með innri kröft-
unum F samkvæmt líkingunum
Fj.Fj.F3.F4 °s f&
P1 = F! coso^ - Fj - F6 coso5
P2 = F^sinoj + F6 sina6 (1)
P3 = F2 - F3 Cosa3 + F4 COSa4
P4 = Fg sina3 + F4 sina4
Þessar líkingar má rita á matrixuforminu
[ph.l = ( A 14.s [ F ] 6xl
þar sem
-cosa5
+ sina5
0
0
[Ah.5
+ 0080^ -1 0
0
isina.
(2)
Matrixan A kallast statíska matrixa fagverks-
ins á mynd 1. Það er eftirtektarvert, að A er
kyggð eingöngu á geómetríu fagverksins.
Mynd 1.
Ef mögulegur fjöldi ytri krafta er kallaður
nP og fjöldi innri kraftanna nF, er auðvelt að
sanna, að statisk ræðni krefst þess, að nP = nF
enda þótt það skilyrði eitt sé ekki fullnægjandi.
Þegar nF>nP er fagverkið statískt órætt.
Sé nP = nF er A ferningsmatrixa (raðir og
súlur matrixunnar A eru jafnmargar) og er þá
hægt að rita (2) sem
[F]
= [ A ]
[pVi
(3)
þar sem [A]-1 er úthverfan (inversion) af A.
Líkingu (3) má rita á almennara formi
[ F hD>n. =IA]:t,- [PL.
(4)
þar sem nh er fjöldi mismunandi hleðslna á fag-
verkið (sjá síðar). Ef A er ekki ferningsmatrixa,
þ.e. ef fagverkið er statískt órætt er [A]-1 ekki
defineruð og líking (3) hefur þar af leiðandi enga
merkingu. Þetta er eðlilega í samræmi við þá
staðreynd, að statískt óræð bygging verður að
uppfylla geómetrísk skilyrði auk þeirra statísku,
er hún aflagast vegna áhrifa ytri krafta.
Séu tilfærslur (displacements) liðanna í fag-
verkinu vegna áhrifa kraftanna P kallaðar X
(mynd l(d)) og lengingar stafanna e (mynd 1
(e)) má sýna fram á, að
[ e1 = [AT ]
r x i
vnp V"h
eða í samræmi við (4)
(5)
þar sem AT er vending (transposal) statísku
matrixunnar A. Þetta má fullvissa sig um við
athugun á mynd l(d) og gildir almennt eins og
sanna má. Samkvæmt lögmáli Hooke’s gildir, að
F = ( EA/L ) e (7)
þar sem E er elastiski stuðullinn, A er þver-
skurðarflatarmálið og L er lengd stafsins. Lík-
ingu (5) má rita á matrixuforminu
[ F 1 = f S 1
V"h ‘ JnF’nF
[«]
V"h
þar sem
(8)
[S1V"f
EAj/Lj 0 .... 0
0 EAj/Lj •••• 0
0 0 .... EAn/L„
(9)
S kallast stífnimatrixa fagverksins. Eins og fyrr
er skyldleika ytri og innri krafta lýst með lík-
ingunum