Tímarit Verkfræðingafélags Íslands - 01.12.1963, Page 32

126
TlMARIT VFl 1963
merkustu núlifandi stærðfræðingar. Leifur er einn
þeirra.
Árið 1933 lauk Leifur doktorsprófi með stærðfræði
sem aðalgrein og eðlisfræði og eðlisfræðilegri efnafræði
sem aukagreinar. Ritgerð hans fjallaði um nýja meðal-
gildisreglu fyrir afleiðujöfnur í margvíðu rúmi. Fyrir
ritgerð sína varð dr. Leifur þegar víðkunnur meðal
stærðfræðinga, og er þessi regla nú kennd við hann.
Að námi loknu hvarf dr. Leifur heim, en þar beið
ekkert starf við hæfi hins unga stærðfræðings. Gerðist
hann þá skólastjóri við héraðsskólann að Laugum í Suð-
ur-Þingeyjarsýslu og gengdi því starfi til ársins 1943.
Ekki lagði hann þó fræðigrein sína á hilluna á þessum
árum. Hann sótti tvö erlend stærðfræðingamót 1934 og
1936 og lagði þar fram ritgerðir, sem birtar eru í ann-
álum þessarra móta.
Árið 1943 var hafin kennsla í verkfræði við Háskóla
Islands og var dr. Leifur ráðinn til að kenna þar stærð-
fræði. Tveim árum síðar var hann skipaður prófessor í
stærðfræði og síðan hefur hann stundað kennslu og
vísindastörf við Háskóla Islands.
Nokkru eftir að dr. Leifur hvarf heim frá Göttingen
flutti Courant prófessor til Bandaríkjanna og setti á
stofn mikla stærðfræðistofnun við háskólann í New York.
Þangað bauð hann dr. Leifi árið 1954 til vísindastarfa
og dvaldi dr. Leifur vestra ásamt fjölskyldu sinni í tvö
ár í hópi vina frá árunum í Göttingen. Nokkurn hluta
þessa tíma starfaði hann við Kaliforníuháskóla í Berke-
ley. Vestanhafs lauk dr. Leifur við nýjar merkar stærð-
fræðiritgerðir.
Árið 1952 var stofnað nýtt norrænt tímarit um stærð-
fræði, Mathematica Skandinavica, og var dr. Leifur
kjörinn í ritstjórn þess. Árið 1955 hlaut dr. Leifur verð-
laun fyrir vísindastörf úr Minningarsjóði dr. phil. Ólafs
Daníelssonar og Sigurður Guðmundssonar arkítekts.
Dr. Leifur er hámenntaður maður og fjölmenntaður.
Áhugamál hans eru ekki öll á sviði raunvísindanna.
Hann hefur verið mikilvirkur í ýmsum menningar- og
mannúðarmálum, var t.d. formaður samtaka um hjálp-
arstarfsemi í Þýzkalandi 1946. Fyrir þessi störf hefur
hann verið sæmdur erlendum heiðursmerkjum.
Dr. Leifur kvæntist árið 1934 Hrefnu Kolbeinsdóttur,
skipstjóra í Reykjavik, og eiga þau hjónin tvö börn,
Kristínu og Ásgeir.
Sigurður Helgason, prófessor við MIT í Bandaríkjun-
um hefur tekið saman stutta greinargerð um stærð-
fræðirannsóknir dr. Leifs fyrir Tímaritið, ásamt skrá
yfir stærðfræðirit hans, og fer hún hér á eftir.
Stærðfræðilegar rannsóknir dr. Leifs Ásgeirssonar
fjalla fyrst og fremst um partiellar differentiallíkingar.
Hefir hann þar athugað geometriska eiginleika lausna
sérstaks flokks differentiallíkinga, hefir fundið nýjar,
frumlegar setningar, sem haft hafa óvæntar afleiðingar.
Síðari rannsóknir hans hafa beinzt að mjög erfiðum verk-
efnum varðandi hið svokallaða Huygens’ Princip. Þessi
verkefni eru ekki aðeins þýðingarmikil frá sjónarmiði
differentiallíkinga, heldur einnig frá sjónarmiði differ-
entialgeometríu og eðlisfræði. Hinsvegar hafa þau reynzt
svo erfið viðfangs, að aðeins fáir stærðfræðingar hafa
haft kjark til að snúa sér að þeim einvörðungu og fram-
farirnar hafa því verið fremur hægar. Full lausn vanda-
mála þeirra varðandi Huygens’ Princip, sem stærðfræð-
ingurinn J. Hadamard vakti máls á fyrir rúmum 40
árum (Hadamard [2]), virðist því enn eiga langt i land.
Ritgerð [A] í skránni hér að aftan byggist á doktors-
ritgerð Leifs og fjallar um differentiallíkingar af form-
inu
3:u ö'-u 3;u 3su
(!) 3x,J + + 3xn2 — 9x2n+1 ‘ ' — dx2n2 0
Slíkai' líkingar eru kallaðar últra-hyperbólskar, en lík-
ingar af forminu
32v 3=v d-v
(2) 3x,! dx2- ' ' ' 3xn- 0
eru kallaðar normal-hyperbólskar. 1 nefndri ritgerð sann-
aði Leifur á tvo mismunandi vegu merkilega setningu,
sem sýnir, að lausnir líkingarinnar (1) má auðkenna
með sérstökum meðalgildiseiginleika. Leifur fann ýmsar
afleiðingar af þessari setningu. Ef gert er t.d. ráð fyrir,
að lausnin u sé konstant í breytistærðunum xn+1, ■ ■ ■, x:n,
fæst meðalgildissetning Gauss um lausnir potentiallík-
ingarinnar
32u 32u
(3) 3Xl2 + ’ ’ ’ + 3Xn= — 0
út frá setningu Leifs. En þó að meðalgildissetning Gauss
fjalli eingöngu um sammiðja kúlufleti, sýndi Leifur
fram á, að meðalgildissetningin inn potential funktionir
gildir einnig um konfokal ellipsoid. Hinar þekktu for-
múlur fyrir lausnir Cauchy problemsins fyrir öldulík-
inguna (2) útleiddi Leifur einnig auðveldlega frá sinni
setningu.
Um það leyti sem ritgerð [A] kom út var vitneskja
stærðfræðinga um almenna eiglnleika últra-hyperbólskra
líkinga fremur bágborin. 1 hinni merlcu bók [1] eítir
Courant og Hilbert er því langur kafli um setningu
Leifs. Setningin sýndi nefnilega merkilegan og óvæntan
mismun á hegðun lausna á últra-hyperbólskum líkingum
og á normal-hyperbólskum líkingum; meðal annars, að
Cauchy problemið fyrir normal-hyperbólskar likingar er
óleysanlegt fyrir þær últra-hyperbólsku. Einn mesti
stærðfræðingur sinnar samtíðar, Hermann Weyl, skrif-
aði ritdóm um bók Courants og Hilberts í Bulletin of the
American Mathematical Society (1938) og segir þar:
„Very interesting are the mean value theorems, in parti-
cular one of considerable generality due to Courant’s
pupil, Ásgeirsson, and their applications”. Önnur bók
[3], skrifuð af samtímamanni Leifs í Göttingen, F. John,
hefir einnig kafla um setningu Leifs og víkkanir hennar.
Greinarnar [A], [B], og [C], sem allar fjalla um
meðalgildissetningar, ná aðeins yfir differentiallíkingar,
þar sem stuðlamir eru konstantar. Allsnemma fór Leifur
að fást við normal-hyperbólskar differentiallikingar
annarrar raðar, þar sem stuðlarnir eru óbundnar funkt-
ionir. Hinn mikli franski stærðfræðingur J. Hadamard
hafði þá nýlega sett fram sinar grundvallarsetningar
varðandi slíkar líkingar í bók sinni [2]. Ein af þeim
þýðingarmestu verkefnum sem Hadamard skildi við án
þess að komast að endanlegri niðurstöðu var að auðkenna
þær normal-hyperbólsku líkingar, sem uppfylla hið svo-
kallaða Huygens’ Princip (hér er gert ráð fyrir að líking-
in hafi engan lið af fyrstu eða núlltu gráðu.) Líkingarn-
ar (2) fullnægja þessu skilyrði, ef n er jöfn tala, og
trúlegt er (þetta er hin svokallaða „Hadamard’s conjec-
ture"), að þær séu þær einu, sem það gera. Stærðfræð-