Skólavarðan - 01.01.2003, Side 6

Stærðfræði
7
Í samræmdu prófi í stærðfræði sem nem-
endur 10. bekkjar þreyttu vorið 2002 var
eftirfarandi stærðfræðiþraut:
Tvö tré, 20 m og 30 m á hæð, hafa
reipi bundið úr toppi annars trésins að
rótum hins, eins og sjá má á myndinni.
Hversu langt frá jörðu skerast reipin?
Dæmið vakti mikla athygli og mikið um-
tal sem sést m.a. á því að það rataði a.m.k.
tvisvar sinnum inn á síður Morgunblaðsins.
Margir voru þeirrar skoðunar að þyngdar-
stig dæmisins væri of hátt fyrir þetta skóla-
stig. En er það svo? Í upplýstu þjóðfélagi
hljótum við að gera þá kröfu að a.m.k. hluti
sextán ára unglinga ráði við dæmi af þessu
tagi, annars er illt í efni. Við hljótum að
fara fram á að í stærðfræðiprófi séu einhver
dæmi í erfiðari kantinum en hæfi samt
námsefninu. Við viljum að duglegir og
skarpir nemendur fái verkefni sem þeir
þurfa að brjóta heilann um, annars er hætt
við að stærðfræðin verði leiðigjörn og
flatneskjuleg sem hún alls ekki er. Dæmið
er býsna áhugavert því það býður upp á
fjölmargar leiðir til lausnar og það er hæfi-
lega erfitt. Víkjum nú að lausn dæmisins.
Í Morgunblaðinu var bent á að einfaldast
væri að leysa dæmið með því að hagnýta
sér einshyrnda þríhyrninga. Lausnin gæti
þá verið á eftirfarandi veg:
Við skiptum 40 m línunni í x og 40 - x
eins og sýnt er á næstu mynd.
Nú er h 30
– = ––
x 40
svo að 40h = 30x (1)
Einnig er h 20
–––– = ––
40-x 40
svo að 40h = 800 - 20x (2)
Leysum jöfnur (1) og (2) saman og fáum
30x = 800 - 20x
þ.e.a.s.
50x = 800
svo að x = 16
Þar af leiðandi er
40h = 30 · 16 = 480
svo að h = 12 m
Athugasemd:
Í Morgunblaðinu var ennfremur bent á
aðrar úrlausnaleiðir, m.a. þá að finna h
með mælingu, þ.e.a.s. mælingu með reglu-
stiku. Það getur tæpast talist ásættanleg að-
ferð á stærðfræðiprófi því að skýringar-
myndir eru sjaldnast í réttum hlutföllum.
Hins vegar var ekki bent á leið sem að mati
höfundar er bæði einföld og fljótvirk. Hún
byggist á því að innleiða hnitakerfi þannig
að x-ás liggi eftir 40 m línunni og y-ás eftir
30 m línunni.* Útreikningar verða þá á eft-
irfarandi veg:
Línan í gegnum (0,0) hefur hallatöluna
h = 20 = 1 og jafna hennar verður þá
40 2
y = 1 x (1)
2
Línan í gegnum (0,30) hefur hallatöluna
h = 30 = 3 og jafna hennar verður þá
40 4
y = - 3 x + 30 (2)
4
Leysum jöfnurnar saman (finnum skurð-
punkt línanna) og fáum
1 x = - 3 x + 30
2 4
Ef við margföldum báðar hliðar jöfnunn-
ar með 4 fæst
2x = -3 x + 120
svo að
x = 24
Þar af leiðandi er
y = 1 x = 1 · 24 = 12 m
2 2
svo að
y = h - 12 m
Var samræmda prófið of létt?!
Dæmið eins og það birtist á samræmda
prófinu var vissulega mjög áhugavert en
það var alls ekki flókið því finna má lausn-
ina á marga vegu. Ástæðan fyrir fyrirsögn-
inni, sem hér er fram sett meira í gríni en
alvöru, er sú að það var alls ekki nauðsyn-
legt að gefa upp fjarlægðina á milli trjánna
(40 m). Það er tiltölulega auðvelt að reikna
dæmið með því að þekkja aðeins hæð
trjánna. Lítum á það.
Einshyrndir þríhyrningar færa okkur
jöfnurnar
20 = h (1)
a+b a
og
30 = h (2)
a+b b
Ef við einföldum jöfnurnar (margföldum
í kross) þá fæst
20a = ah + bh (1)
og
30b = ah + bh (2)
Þar af leiðandi er
20a = 30b
svo að
a = 3 b2
Setjum nú a = 3 b inn í jöfnu (1) og fáum
2
20 · 3 b = 3 bh + bh
2 2
þ.e.a.s
30b = 5 bh
2
Deilum nú báðum megin með b og
fáum
30 = 5 h
2
svo að
h = 12 m.
Jón Þorvarðarson
Höfundur er stærðfræðikennari við
Fjölbrautaskólann í Breiðholti.
„Ég verð því miður að viðurkenna að sú náms-
grein sem mér mislíkaði mest í skóla var stærð-
fræði. Ég hef oft velt þessu fyrir mér og ég held að
ástæðan sé sú að stærðfræðin gefur engin færi á
andmælum.“
-Malcolm X (1925-1965)
* Það kann að vera að almennt sé ekki á færi nemenda 10. bekkjar að leysa dæmið með þessum hætti, en við látum aðferðina fljóta með til gamans.
Söguleg þraut