Tölvumál - 01.05.1999, Blaðsíða 19

Tölvustudd stærðfrseðikennsla
Dæmi 3.8. Diffurjafnan y"= x + 2y -y' leyst með annars stigs nálgun

Upphafsgildi Skref X V V' Yi,=X+2v-Y' Rétt qildi Skekkja
0 0 0 -0.5 0.5 0
1 0.2 -0.09 -0.4 0.42 -0.0906 0.0006
2 0.4 -0.1616 -0.316 0.3928 -0.1639 0.0023
3 0.6 -0.2169 -0.2374 0.4036 -0.2212 0.0043
4 0.8 -0.2564 -0.1567 0.4440 -0.2623 0.0059
5 1 -0.2788 -0.0679 0.5103 -0.2857 0.0068
6 1.2 -0.2822 0.0341 0.6015 -0.2891 0.0069
7 1.4 -0.2634 0.1544 0.7189 -0.2691 0.0057
8 1.6 -0.2181 0.2982 0.8656 -0.2211 0.0030
9 1.8 -0.1411 0.4713 1.0464 -0.1394 -0.0017
Endapunktur 10 2 -0.0259 0.6806 1.2675 -0.0170 -0.0090

Skrefstærð h = 0.2

Rétt lausn diffurjöfnunnar er y = (2e>: + &'*■* -6x - 3 ) /12
o
-0.05
■0.1
-0.15
•0.2
-0.25
-0.3
-0.35
\ 7
. \ /
/
j

Mynd 4. Töflureiknir notaður til að rekja lausnarferil annars stigs diffurjöfnu með
tölulegum aðferðum. Upphafsgildi lausnarferilsins eru rituð í efstu lúiu töflunnar ásamt for-
múlu fyrir diffurkvótanum y?. I línuna þarfyrir neðait er rituð lausnarformúla diffurjöf-
nunnar og sú lína síðan afrituð í aðrar línur töflunnar. Rétt lausn og skekkjan í tölulegu
lausninni eru ritaðar í öftustu tvo dálkana og báðir lausnarferlarnir, sá tölulegi og liinn rétti,
teiknaðir á línuritið.
Vefur og töflureiknir
bjóða uppá
fjölmarga möguleika
til að styðja venjulega
stærðfræðikennslu og
leiða nemendur inn í
hinn nýja heim
reiknifræðinnar
Aðferð Eulers sem er fyrsta stigs nálgun,
endurbætt aðferð Eulers sem er nálgun af
öðru stigi og fjórða stigs Runge-Kutta
aðferð. Efri ferillinn er fenginn með
aðferð Eulers en sá neðri er ferill réttrar
lausnar frá upphafsgildinu (x, y) = (-2, -
1.1), þ.e. y = -0.74-ex + x +1.
Samanburður á þessum ferlum leiðir í ljós
takmarkanir á tölulegum lausnum, en með
því að minnka skrefstærðina má fá fram
betri tölulega lausnarferla. Hér er
reiknifræðin aðalviðfangsefnið.
Mynd 3 sýnir hvernig unnt er að nota
töflureikni til þess að skoða lausnir
einsleitrar annars stigs diffurjöfnu með
fasta stuðla. Nánar tiltekið er þetta hin
fræga jafna dempaðrar sínus-sveiflu.
Stuðlarnir p og q ákvarða tíðni og dempun
sveiflunnar og þegar gildum þeirra er
breytt í viðeigandi töflureitum breytist
línuritið samstundis. Með því að gera
tilraunir með mismunandi gildi á p og q
geta kennari og nemendur leitað svara við
spurningum eins og þessari: Hvað gerist ef
dempunin er negatíf? Hér er töflu-
reiknirinn notaður til að varpa ljósi á
klassískt stærðfræðilegt viðfangsefni.
Mynd 4 sýnir notkun töilureiknis til að
leysa annars stigs diffurjöfnu með
tölulegum aðferðum. Upphafsgildi lausn-
arferilsins eru rituð í efstu línu töflunnar
ásamt formúlu fyrir diffurkvótanum y?. í
línuna þar fyrir neðan er rituð lausnarfor-
múla diffurjöfnunnar (samkvæmt annars
stigs nálgun) og sú lína síðan afrituð í
aðrar línur töflunnar. Til frekari upp-
lýsingar eru rétt lausn og skekkjan í
tölulegu lausninni rituð í öftustu tvo
dálkana og báðir lausnarferlarnir, sá
tölulegi og hinn rétti, teiknaðir á lfnurit.
Þeir lesendur sem ekki eru vanir að fást
við diffurjöfnur, en hafa samt lesið svona
langt, eru beðnir velvirðingar á þessum
flóknu útlistunum, en þeir og aðrir hafa þó
vonandi séð að vefur og töflureiknir bjóða
uppá fjölmarga möguleika til að styðja
venjulega stærðfræðikennslu og ieiða
nemendur inn í hinn nýja heim
reiknifræðinnar. Þeir sem vilja sjá nteira
geta nálgast vefmn Diffurjöfnur og fylki á
stærðfræðivefsíðum Verzlunarskólans,
skoðað hann þar eða sótt hann í pakkaðri
skrá og sett upp á eigin tölvu. Slóðin er
http://www.verslo.is/skolanet/kennsluefni/
stfr.
Freyr Þórarinsson kennir stærðfræði
og tölvunarfræði við Viðskiptaháskólann í
Reykjavík og Verzlunarskóla Islands.
Netfang hans er freyr@vhr.is.
Tölvumál
19