Morgunblaðið - 03.02.2001, Blaðsíða 49

MENNTUN
MORGUNBLAÐIÐ LAUGARDAGUR 3. FEBRÚAR 2001 49
Áráðstefnunni ICME-9 umstærðfræðimenntun, semhaldin var síðasta sumar íJapan, var skiljanlega
mjög margt í boði og ég nefni aðeins
eitt svið. Ýmsir fyrirlesara fjölluðu
um rúmfræði og bentu gjarnan í fyr-
irlestrum sínum á þá möguleika sem
rúmfræðinám opnar nemendum á
öllum aldri.
Gildi rúmfræði í náminu
Þeir sem horfðu á þáttinn Líf í töl-
um í Sjónvarpinu um mynstur og
form náttúrunnar sáu mörg dæmi
um stærðfræðileg mynstur í náttúru,
bæði hnútafræði sem notuð er til
rannsókna á veiruhegðun og stærð-
fræðileg mynstur og
samhengi í gróðri og
dýrum. Það þarf því
ekki að undra að ýmsir
fyrirlesara ráðstefn-
unnar hafi fjallað um
mikilvægi þess að opna
nemendum slíka sýn og
gefa þeim kost á að
vinna þannig að þeir
næðu skilningi á
tengslum rúmfræði við
náttúru og listir svo og
hvert hlutverk stærð-
fræði sé í slíku samspili.
Dæmi um viðfangs-
efni á þessu sviði geta
verið frá mismunandi
tímum sögunnar. Þann-
ig má nefna runu Fib-
onaccis frá 13. öld: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ….
og hlutföll samliggjandi liða í henni
1, 2, 3/2, 5/3, 8/5, …. svo og að tengja
þau athugun á hlutföllum í skeljum,
trjám og blómum. Þessar athuganir
hafa heillað marga og markgildi
hlutfallarununnar, gullinsniðið, hef-
ur haft áhrif á listamenn allt frá gerð
hofanna í Aþenu til byggingar Sam-
einuðu þjóðanna í New York. Reynd-
ar er til myndband, sem þýtt var fyr-
ir Námsgagnastofnun, og fjallar vel
um þessi mál. Það heitir Undraheim-
ur stærðfræðinnar. Og þeir sem vilja
sækja efni á vefinn geta t.d. reynt
slóðina: http://www.mcs.surrey.ac.-
uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/
fib.html.
En rúmfræðin býður ekki síður
upp á efni frá síðustu öldum og jafn-
vel áratugum. Kúlurúmfræðin og
brotarúmfræðin gefa báðar mögu-
leika á verkefnum fyrir nemendur
þar sem skoðuð eru miklu flóknari
fyrirbæri náttúrunnar en hefð-
bundin fornaldarrúmfræði Evklíðs
nær að lýsa. Þess ber reyndar að
geta í þessu samhengi að rúmfræði
Evklíðs var sett fram sem röklegt
ályktunarkerfi og áhersla því aðal-
lega á rökfestu í vinnu með tilgátur
og sannanir og í framsetningu allri
en tilgangurinn var ekki á að lýsa
ytra samhengi og sýnilegum fyrir-
bærum umhverfisins þótt röklega
kerfið legði grundvöll að vinnu-
brögðum náttúruvísindamanna.
Stærðfræði Antonís
Gaudís og Eschers
Fjölsóttur var fyrirlestur Claudi
Alsina frá Barcelona. Þeir sem heim-
sótt hafa heimaborg hans, höfuðborg
Katalóníu, muna eftir sérstæðri
húsagerðarlist Antonís Gaudis sem
þar er alls staðar sýnileg og Claudí
Alsina notaði einmitt verk hans sem
dæmi um hvað óheftur eða lítt heftur
hugur getur kallað fram. Á sama
hátt varaði hann við að fjötra unga
huga í niðurnjörvaðar aðferðir í
stærðfræðikennslunni þótt hann
drægi á engan hátt úr mikilvægi
skarpleika í hugsun og
starfi.
Aðrir gáfu gaum
áhrifum tölvutækninn-
ar og notkun sérstakra
forrita eins og Cabri
Geometry, Geometers
Sketchpad og margra
fleiri. Þessi hugbúnað-
ur gerir m.a. kleift að
vinna með margs kyns
samhverfur, mynd-
ræmur og veggfóðurs-
mynstur og opnar
möguleika til þess að
búa til stærðfræðilegar
myndir svipaðar þeim
sem hollenski lista-
maðurinn Escher gerði
frægar fyrr á öldinni.
Vinna af þessu tagi er nokkuð þekkt
hér heima og hefur verið unnið með
svona viðfangsefni í aldarfjórðung í
íslenskum skólum. Vinna við þau
með hjálp tölvuforrita hefur einnig
verið til í nálægt fimmtán ár. En það
verður að segjast hreinskilnislega að
allt of fáir íslenskir skólanemendur
fá að komast í kynni við svona verk-
efni og þeir fá oftar en ekki of lítinn
tíma til vinnunnar til þess að veru-
legur árangur náist og þeir njóti
stærðfræðinnar sem um ræðir.
Vinna nemenda
Japanirnir sýndu margvísleg
verkefni og dæmi um vinnu barna og
unglinga. Unglingar unnu t.d. með
fjórvídd og notkun líkana sem búin
voru til úr tannstönglum til að átta
sig á henni. Þetta tengist því sem
fram kom í fyrsta þætti mynda-
flokksins Líf í tölum (8/1) í Sjónvarp-
inu. Átta ára barn vann við gerð
hreyfanlegra líkana. Það verkefni
hefur reynt talsvert á litla fingur en
hluturinn var mjög spennandi, bæði
fyrir þann sem gerði og þá sem skoð-
uðu.
Verk eins og þessi eru orðin til í
kennslustundum skólanna. Undan-
farna tvo áratugi hafa rannsóknir á
sviði stærðfræðimenntunar beinst í
auknum mæli að kennslustundunum
því að víðast hvar eru þær einu stað-
irnir sem stærðfræði-
námið er stundað
markvisst. Vegna mis-
munandi menningar-
gilda og þekkingar inn-
an þjóðfélaga á þetta
ekki við í jafnríkum
mæli um allar náms-
greinar en eftir því sem
almenningur ræðir
minna um viðfangsefni,
og þekkir minna til þró-
unar sviðanna, vex mik-
ilvægi kennslustund-
anna.
Að vísu telja flestir
sig þekkja hvernig
kennslustundir fara
fram enda hafa allir
setið kennslustundir í
þúsundavís. En það er
óvarlegt að treysta því að við höfum
sem nemendur séð allt sem sjónar er
vert í kennslustund og greint náið
samhengi þess sem þar gerist. Þetta
reynist jafnvel sérfræðingum erfitt
vegna þess hve margþætt það er sem
gerist í einni og sömu kennslustund-
inni. Skólastofur eru afar lifandi
vinnustaðir þar sem áhugi getur
stýrt vinnu og nemendur vinna sam-
an á ýmsan hátt. Það er ekki auðvelt
að grípa á því sem gerist og hverjir
orsakavaldar séu í slíku umhverfi.
Einna best hefur það tekist með
myndbandsupptökum og ítarlegri
kóðun og greiningu á myndefninu.
Rannsókn á
kennslustundum
Þegar TIMSS-rannsóknin var í
undirbúningi komu þær raddir upp
innan Bandaríkjanna að söfnun
skriflegra gagna um námskrár,
námsefni, úrlausnir nemenda, að við-
bættum upplýsingum og viðhorfum
nemenda og kennara, væri ekki nóg
til þess að nýta til uppbyggingar þær
upplýsingar sem myndu fást um ár-
angur nemenda. Úr varð sérstök
rannsókn, tengd TIMSS en ekki
unnin á sama hátt og rannsóknin
sjálf. Bandaríkjamenn kostuðu
þessa rannsókn að verulegu leyti og
að henni komu þeir ásamt tveimur
viðskiptakeppinautum sínum, Japan
og Þýskalandi. Bandaríkjamönnum
lék forvitni á að vita hvers vegna
þessum þjóðum, og þá einkum Jap-
önum, hafði gengið mun betur en
þeim sjálfum í fyrri samanburðar-
rannsóknum vegna stærðfræðináms.
Ráðist var í að taka upp á þriðja
hundrað kennslustundir hjá 13 ára
nemendum í þessum löndum. Not-
aðar voru í hverri upptöku tvær
tökuvélar og einnig safnað efni til
þess að skýra það sem var að gerast í
stundunum, svo sem áætlunum
kennara, verkefnum nemenda o.fl.
Undirbúningur allur og framkvæmd
voru vönduð. Upptökur áttu sér stað
skólaárið 1994-1995. Vegna afar
áhugaverðra niðurstaðna þessarar
rannsóknar og þeirra vísbendinga
sem fram komu hefur fagfólk á Vest-
urlöndum almennt meiri áhuga á
stærðfræðikennslunni í Japan en
öðrum löndum Asíu þótt nemendur
þar næðu einnig góðum árangri.
Vísbending um niðurstöður
Rannsóknin leiddi margt í ljós
sem alls ekki var séð fyrir. Fræði-
menn frá löndunum þremur unnu
saman að úrvinnslu gagnanna. Sögu-
menn í því efni sem gefið hefur verið
út á ensku eru Bandaríkjamenn en
þeim var mjög í mun að finna hvern-
ig þeir gætu tekið betur og faglegar
á stærðfræðinámi og skapað nem-
endum bestu aðstæður til þess, allt
frá byrjendakennslu til háskóla-
náms. Þeir sem skrifað hafa um efnið
til þessa hafa lagt fram greinargóðar
lýsingar og reyndar einnig tillögur
um skref sem taka mætti í þeirra
landi.
Bandaríkjamenn verða vart taldir
einsleitur hópur og alríkisnámskrár
er þar ekki að finna. Nokkur breyt-
ing er að vísu að verða á fyrir frum-
kvæði fagkennarasamtaka þar sem
stærðfræðikennarar riðu á vaðið fyr-
ir nær 15 árum. Ég held að öll fag-
kennarasamtök vestra hafi nú skrif-
að og sum einnig endurskoðað sínar
viðmiðanir, sem þau nefna „stand-
ards“, til þess að draga fram mik-
ilvægustu þætti náms á sínu sviði;
sýn, megináherslur, inntak, vinnu-
brögð o.fl. Þetta hefur komið af stað
þróunarferli sem athuganir sýna að
lofar góðu en jafnframt er vitað að
það tekur langan tíma að koma á við-
undandi framkvæmd.
Ein mikilvægasta
niðurstaðan
Bandaríkjamenn töldu því, og það
munu Þjóðverjar hafa gert líka, að
kennslustundir væru ólíkar í upp-
byggingu og framkvæmd innan
landa sinna. Japanir vinna hins veg-
ar mun miðstýrðar og þar var vitað
að áherslur í kennslunni og mat á því
hvað væri mikilvægt að bjóða og
ætla nemendum var líkt yfir allt
landið. Ef til vill var mikilvægasta
niðurstaða rannsóknarinnar sú að
það stæðist ekki sem menn töldu um
fjölbreytileika kennslustundanna
innan landanna tveggja. Til þess að
sjá slíkt þarf að greina vel samhengi
hugmynda og framkvæmdar, m.a.
ferlið í kennslustundinni, hjá hverj-
um ábyrgðin í vinnunni liggur,
hvernig komist er að niðurstöðum,
hvaða tengingar eiga sér stað og
hver leggur fram „nýja“ vitneskju og
færir rök fyrir henni.
Ég geri mér fullljóst að þessar
spurningar koma mörgum lesendum
einkennilega fyrir sjónir þegar þeir
hugsa til eigin reynslu af kennslu-
stundum í stærðfræði. En þær eru
mikilvægar ef við ætlum að ná raun-
verulegum árangri varðandi stærð-
fræðinámið. Og svörin við þeim og
ótal mörgum öðrum voru ólík í lönd-
unum þremur. Munur var meiri milli
landanna en innan þeirra. Jafnvel
tala menn um gjár milli landanna.
Þetta leiðir til þess sem stundum er
sagt en kannske ekki rýnt í sem
skyldi: Kennsla er menningartengt
fyrirbæri og henni verður ekki
breytt nema eftir þeim leiðum sem
menning landsins breytist. Breyt-
ingar krefjast því miklu víðtækara,
langvinnara og fjölbreyttara vaxtar-
umhverfis en fólk hefur talið, ekki
síst við Íslendingar sem sífellt erum
að reyna að „kippa í liðinn“.
En menningin er maddama sem
ekki er létt að fanga og því kynni ein-
hver að spyrja hvort hvert land sitji
ekki, varðandi stærðfræðinámið, í
heljargreipum sinnar menningar og
fái lítt að gert. Svo er þó ekki en
vinnubrögðin verður að vanda og sýn
verður að vera bæði fjölþætt og skýr.
Við þekkjum þjóðir sem hafa unnið
vel á þessum vettvangi og þótt við
getum að sjálfsögðu ekki flutt inn
það sem þær hafa þróað og gert að
okkar í sviphendingu, getum við lært
af vinnubrögðum þeirra við upp-
byggingu og aðlagað okkar aðstæð-
um. Við getum gefið gaum mikilvægi
þess hverjir komi að vinnunni við
þróun, hvernig staðið er að upplýs-
ingum og fleira af þeim toga.
Ég mun enda þessa frásögn frá
Japan næst með því að lýsa einstakri
kennslustund og almennum ein-
kennum kennslustunda þar og lang-
ar einnig að reyna að sýna lítillega
tengsl við þróun hér heima samfara
þessum lýsingum.
Líf í tölum V/ Hvers er stærðfræðin megnug? Íslendingar sóttu ráðstefnu um stærðfræðimenntun
sl. sumar í Japan þar sem m.a. var fjallað um rúmfræði. Anna Kristjánsdóttir prófessor var
á ráðstefnunni og miðlar hér völdum þáttum af henni. Greinaflokkur hennar hér í Mbl. er
í tilefni af þáttaröðinni í Sjónvarpinu á mánudagskvöldum. Efnið er um stærðfræðimenntun.
Presslink
Kirkjan La Sagrada Familia er ein af þekktustu byggingum Gaudís. Í
fyrirlestri Claudi Alsina frá Barcelona var fjallað um Gaudí og varað við
að fjötra unga huga í fastar aðferðir í stærðfræðikennslunni.
Kennsla er
nátengd
menningu
 Japanskir unglingar unnu verk í
fjórvídd úr tannstönglum.
 Er auðvelt fyrir menn að breyta
kennsluháttum í skólakerfinu?
Anna
Kristjánsdóttir
Snilldarmynd eftir Escher sem oft tókst að
brjóta af sér hlekki daglegrar sýnar.