Hugur - 01.01.1989, Síða 94

RITDÓMAR
HUGUR
Logico-Philosophicus, án þess að þekkja til hlítar rökfræðikenningar
Frege.
Frege og Russell áttu það áhugamál sameiginlegt að vilja fínna rök-
fræðilegan grunn stærðfræðinnar og gera sér grein fyrir eðli hennar.
Tilraunir Russells í þá veru náðu hámarki sínu í hinu mikla þriggja binda
verki PríncipiaMathematica, sem hann skrifaði ásamt kennara sínum og
síðar samkennara, Alfred North Whitehead, og kom út á árunum 1910-
1913. í Príncipia er sett fram táknmál rökfræðinnar og skilgreiningar, og
þau notuð til að sýna fram á rökfræðilegan grundvöll stærðfræðinnar.
Samsvarandi verk Frege er Grundvallarlögmál talnafræðinnar („Grund-
gesetze der Arithmetik"), sem kom út í tveimur bindum, fyrsta bindi árið
1893, og hið seinna árið 1903. Áður gaf Frege út tvö verk, sem voru
nokkurs konar forspil að ofangreindu verki. Fyrra verkið, Hugtakaskríft
(,,Begriffsschrift“), kom út 1879, en þar setur Frege ffam táknmál það, er
hann hugðist nota til að leiða stærðfræði af rökfræði. Þetta táknmál er í
grundvallaratriðum notað enn þann dag í dag í nútímarökfræði. Seinna
verkið er Undirstöðurreikningslistarinnar, sem hér er til umræðu, og kom
fyrst út árið 1884. Þar setur Frege fram óformlega þær hugmyndir, sem
liggja til grundvallar hinni stærð- og rökfræðilega nákvæmu framsetningu
í Grundvallarlögmilum talnafræðinnar. Hann ræðir fjölda- og talna-
hugtakið, sem talnafræðin eða reikningslistin er reist á, á venjulegu máli.
Hárskörp rök hans eru fyrst og frernst heimspekileg. Þótt umræða hans sé
flókin og fáguð má benda á, að bókin er „ekki tyrfin aflestrar og ætti ekki
að reynast neinum ofraun, sem áhuga hefur á efninu, þótt ekki kunni hann
mikið fyrir sér í stærðfræði“, eins og Guðmundur Heiðar kemst að orði.
Frege fer ítarlega í kenningar heimspekinga og heimspekilega sinnaðra
stærðfræðinga, bæði þekktra, eins og Lockes, Leibniz og Mills, og
óþekktra, eins og Schröders, Lipschitz og Köpps, um talnahugtakið og
teflir ffam snilldarlegum rökum gegn þeim. Þá setur hann fram eigin kenn-
ingu um eðli hugtakanna fjöldi og náttúruleg tala, sem jafnframt er kenn-
ing um eðli stærðfræðinnar.
Eins og önnur rit í Lærdómsritaröðinni er bókin Undirstöður reikn-
ingslistarinnar öll hin vandaðasta. Forspjall Guðmundar Heiðars er mjög
fróðlegt, skýrt og unnið af kunnáttu, en því má í grófum dráttum skipta í
tvo hluta. Fyrri hluti er almennt yfirlit yfir líf og starf Frege, helstu rit,
samskipti við samtímamenn, heimspeki hans og önnur andleg áhugamál.
Þá er gerð stutt grein fyrir nútímarökfræði, sem að miklu leyti á rætur
sfnar að rekja til Frege. Hér hnaut ég um þá fullyrðingu, að rökfræði
skiptist í tvennt, setningarökfræði og umsagnarökfræði (bls. 14). Nútfma-
rökfræði er af flestum rökfræðingum talin spanna mun víðtækara svið,
t.d. annars stigs rökfræði (þ.e. rökfræði, þar sem talað er um alla eða
suma eiginleika hluta), háttarökfræði, ýmsar sértegundir einfaldrar um-
sagnarökfræði, svo sem samsemdarrökfræði. Þessa misskilnings gætir
reyndar einnig seinna í forspjallinu, þar sem sagt er: „það er ekki einungis
rökfræði, sem reikningslist errakin til, heldur líka mengjafræði" (bls. 39).
En sjálfur gerði Frege ekki skarpan greinarmun á rökfræði og mengja-
fræði, og það gildir einnig um marga nútímarökfræðinga.
í síðari hluta forspjallsins eru gerð nánari skil fyrir inntaki bókarinnar,
markmiðum og aðferðum. Þar er m.a. lýst gagnrýni Frege á sálarhyggju
92