Árbók VFÍ/TFÍ - 01.06.2000, Page 293

Ritrýndar vísindagreinar 291
Ger ráð fyrir að sett hafi verið fram tilgáta um að gögnin komi úr fjölskyldu líkinda-
dreifínga, J{Y\0), þar sem q er stiki sem ákvarðar líkindadreifinguna. Verkefnið er þá að meta
0, þ.e. að meta úr hvaða líkindadreifmgu gögnin koma.
Y er hending („random variable“) sem lýtur dreifíngunni f : Y ~ f(r|0). Y er útkoma
hendingarinnar Y.
Fyrir mæligögn Yeru sennileikafallið og log-sennileikafallið skilgreind sem:
WY) :=Am (eða L{Y\Q) := A*Am *Am ) (3)
/(>10) ~ ln(I(y|0))
Hugmyndin að baki háliknamati er sú að finna gildi á 0, 0*, þ.a. líkumar á að útkoman
sé Y fyrir líkindadreifínguna J{Y\6*) séu meiri en fyrir nokkra aðra líkindadreifingu í fjöl-
skyldunniy(Fj0). Það er því áhugi á gildi 0*, þ.a. L{6*\Y) > L{6\Y) fyrir öll 0. Það leiðir til
eftirfarandi skilgreiningar á hálíknamati :
Hálíknamat á 0 er gildi á 0, 0*, sem hámarkar sennileikafallið L{6\Y). Það er jafngilt þvi
að hámarka log-sennileikafallið l{6\Y).
Þessi skilgreining gefur möguleika á fleiri en einu hálíknamati. Fyrir margar fjölskyldur
líkindadreifínga er ML matið hins vegar einhlitt ákvarðað og sennileikafallið deildanlegt og
takmarkað að ofan. Þá má fínna ML matsgildið með því að leysa sennileikajöfnuna:
s(e\Y)^^p=o (4)
Þeir sem hafa áhuga á að kynna sér þessi fræði til hlítar er bent á Cramér (1951), Rao
(1973), Cox & Hinkley (1974) eða Little & Rubin (1987).
Aðferðir til að reikna hálíknamat
Stundum fæst ML-matið 0* beint út frá sennileikajöfnunni. Það gildir hins vegar ekki
almennt og í flóknari verkefnum þarf að grípa til annarra leiða. Þar er um að ræða
ítrunaraðferðir sem ætlað er að gefa mnu matsgilda sem er samleitin að 0*. Einhvers konar
samleitniskilyrði er þá notað til að ákveða hvenær ítrunum er hætt. 1 gegnum tíðina hafa
aðferðir ólínulegrar bestunar mikið verið notaðar í slíkum tilvikum. Newton-Raphson-
aðferðin, Quasi-Newton aðferðin og ýmsar útfærslur á þeim fara þar fremstar í flokki.
í McLachlan & Krishnan (1997) og Thisted (1988) er að fmna umfjöllun um Newton-
aðferðir fýrir ML-verkefni. Frekari upplýsingar um aðferðirnar er að fínna í bókum um
ólínulega bestun.
Önnur leið til að meta 0* þegar sennileikajafnan gefur ekki beina lausn er að beita EM-
reikniritinu. Það er ítrunaraðferð eins og hinar og er lýst hér að neðan.
Framsetning á hálíknaverkefni þegar gildi vantar
Ger ráð fyrir að Y séu mæligögnin sem fengjust ef ekkert gildi vantaði. Lát Y = {Yobs,Ymjs)
þar sem Yobs eru mældu gildin og Ymis em gildin sem vantaði. Lát /( >j0) =./(fo/,s,L„/v |0) vera
líkindaþéttlcika sameiginlegu dreifmgar Yobs og Ymjs. Líkindaþéttlciki jaðardreifíngar Yobs er
þá :
f(Yobs\6)= \f(Yahs,Y„J6)lYm:s
og sennileikafallið er:
WY0J = f{Yobs\6).