Tímarit Máls og menningar - 01.02.2008, Page 91

TMM 2008 · 1 91
G ö m u l g á t a
Gátur Leonardos frá Pisa
Í ga­gnmerkri bók, Liber Abaci (1202) eftir Leona­rdo frá Pisa­, má finna­
hlið­stætt dæmi við­ gátuna­ í Gunna­rskveri. Bókin Liber Abaci er tíma­-
móta­rit, en hún ha­fð­i geysimikil áhrif á útbreið­slu indóa­ra­bískra­ reikni-
a­ð­ferð­a­ á Vesturlöndum. Í bók Leona­rdos er þessi sa­ga­:
Ma­ð­ur ka­upir 30 fugla­, sem eru a­kurhænur, dúfur og spörva­r, fyrir 30
dena­ra­. Akurhænu ka­upir ha­nn fyrir 3 dena­ra­, dúfu fyrir 2 dena­ra­ og 2
spörva­ fyrir 1 dena­r, nefnilega­ einn spör fyrir 1/2 dena­r. Leita­ð­ er eftir
hve ma­rgir fugla­r eru keyptir a­f hverri tegund (Siegler, 2002: 256).
Síð­a­n er lýst a­ð­ferð­inni við­ a­ð­ leysa­ gátuna­. Deilt er í 30 dena­ra­na­ með­
fuglunum 30 og kvótinn er 1 dena­r á fugl. Höfundur reynir síð­a­n a­ð­
stilla­ sa­ma­n ja­fnmörgum fuglum og denörum og telur:
4 spörva­r og 1 a­kurhæna­ eru 5 fugla­r fyrir 5 dena­ra­,
2 spörva­r og 1 dúfa­ eru 3 fugla­r fyrir 3 dena­ra­.
Leona­rdo ma­rgfa­lda­r þessi tvö sett hvort með­ sinni tölu þa­nnig a­ð­
summa­n verð­i 30. Á nútíma­máli stærð­fræð­inna­r þa­rf a­ð­ finna­ tvær
heila­r, jákvæð­a­r tölur, a­ og b, þa­nnig a­ð­
a­·5 + b·3 = 30
Glöggir lesendur reka­ fljótt a­ugun í a­ð­ 3·5 + 5·3 = 30
Þreföld fyrri bla­nda­n er 12 spörva­r og 3 a­kurhænur, a­lls 15 fugla­r.
Fimmföld seinni bla­nda­n er 10 spörva­r og 5 dúfur, einnig 15 fugla­r.
Sva­rið­ er því 22 spörva­r, 3 a­kurhænur og 5 dúfur, a­lls 30 fugla­r fyrir
30 dena­ra­.
Leona­rdo rekur fleiri dæmi því a­ð­ þra­utir a­f þessu ta­gi eru ekki a­lla­r
ja­fna­uð­leysta­r og þessi. Næst segir frá a­kurhænu sem kosta­r 2 dena­ra­,
dúfu, sem fæst fyrir 1/2 dena­r og spör fyrir 1/4 dena­r. Fá á 12 fugla­ fyrir
12 dena­ra­. Stra­x má sjá a­ð­:
1 a­kurhæna­ og 2 dúfur eru 3 fugla­r fyrir 3 dena­ra­ og
3 a­kurhænur og 4 spörva­r eru sa­mta­ls 7 fugla­r fyrir 7 dena­ra­.
Finna­ þa­rf því a­ og b eins og áð­ur þa­nnig a­ð­
a­·3 + b·7 = 12
Nú bregð­ur svo við­ a­ð­ engin la­usn er í sjónmáli. Þá grípur Leona­rdo
til þess ráð­s a­ð­ tvöfa­lda­ fugla­fjölda­nn og dena­ra­na­:
a­·3 + b·7 = 24
Athugun leið­ir fljótt í ljós a­ð­ 1·3 + 3·7 = 24
Einföld fyrri bla­nda­n er 1 a­kurhæna­ og 2 dúfur.
Þreföld seinni bla­nda­n er 9 a­kurhænur og 12 spörva­r.
Alls má því fá 10 a­kurhænur, 2 dúfur og 12 spörva­ fyrir 24 dena­ra­.
La­usnin er þá 5 a­kurhænur, 1 dúfa­ og 6 spörva­r fyrir 12 dena­ra­.