Morgunblaðið - 19.11.1999, Blaðsíða 64

65 FÖSTUÐAGUR 19. NÓVEMBER 1999 -----
STÆRÐFRÆÐI
MORGUNBLAÐIÐ
Lausnir á dæm-
um í Eystra-
saltskeppninni
EYSTRASALTSKEPPNIN í stærð-
fræði var haldin í Reykjavík helgina
4. til 6. nóvember. Þátttakendur
voru alls 50 frá 10 löndum og bar lið
Eistlands sigur úr býtum. Sunnu-
daginn 6. nóvember birti Morgun-
blaðið dæmin sem lögð voru fyrir í
keppninni og hér birtast svör og
lausnir á hluta dæmanna og svör án
v lausna við nokkrum dæmum til við-
bótar.
Fullgerð svör og lausnir á öllum
dæmunum er að fínna á vefsíðu ís-
lenska stærðfræðifélagsins, en slóð-
in er:
www.talnakonnun.is/
Staerdfraedafelag/BWJausnir.htm
Dæmi 1
Akvarðið allar rauntölur a,b,c,d
sem uppfylla jöfnuhneppið
abc + ab+bc+ca + a + b+ c= l
bcd +bc+cd+db+b + c + d= 9
cda + cd+da + ac + c + d + a = 9
dab + da + ab+bd+d+a+b = 9
Lausn: Notum innsetningu. Ef við
látum A = a + 1, B=b + 1, C=c
+ 1, D = d + 1, fáum við að
ABC = 2 (1)
BCD = 10 (2)
CDA = 10 (3)
DAB = 10 (4)
Með því að margfalda saman (1),
(2) og (3) fáum við að C3 ( ABD f =
200, sem ásamt (4) leiðir af sér að
C3 = 2 . A sama hátt fáum við að
A3= b3 = 2 og að D3 = 250. Eina
lausnin er því a = b = c = 3V2 - 1,
d = 5- fy2 -1.
Dæmi 2
Akvarðið allar jákvæðar heilar
tölur n með þann eiginleika að
þriðja rótin af tölunni n fæst með
því að fjarlægja þrjá öftustu tölu-
stafí tölunnar n.
Lausn: 323 =32768 er lausn. Sönn-
um að þetta sé eina lausnin:
Ef n 3 er lausn, þá uppfyllir n það
að lOOOn <n3 < 1000(n+l). Af fyrri
Morgunblaðið/Árni Sæberg
Þeir sátu einbeittir yfir dæmunum, keppendumir í Eystrasaltskeppninni í stærðfræði sem fram fór í
Menntaskólanum við Hamrahlíð nú í byrjun nóvember.
ójöfnunni leiðir að n 2 > 1000 eða
n > 32. Þetta ásamt seinni ójöfnunni
leiðir af sér að n 2 < 1000-33/32
<1032, eða n < 32. Því er n = 32.
Dæmi 4
Fyrir allar jákvæðar rauntölur x
og y skilgreinum við
f(x,y) = min(x, y/(y? + f)).
Sýnið að til séu tölur x0 og y0
þannig að ójafnan f(x,y) < f(x0, yj
gildi um allar jákvæðar rauntölur
x og y og ákvarðið í'(x0, yj.
Lausn: Við höfum að f(x,y) < x og að
f(x,y) < y/(x? + f) < y/2xy = l/2x
samkvæmt ójöfnunni um venjulegt
og rúmfræðilegt meðaltal. Þar sem
x-(l/2x) = 1/2 sjáum við að annað
hvort er x < 1/V 2 eða l/(2x) < 1/V 2.
Þar með er f(x,y) < 1/V2. En f(l/V2,
1/V2) = 1/V2 þannig að fhefur lág-
mark og gildi þess er 1/V 2.
Jólaskeiðin
1999
-10
/
Jólaskeiðin í ár er
prýdd vitringunum
þremur.
Guðlaugur A. Magnússon
Laugavegi 22a,
101 Reykjavík
Sími 551 5272
íslensk hönnun
og smíði í 75 ár.
Dæmi 5
Punkturinn ( a, b) er á hringnum
x2 + f = 1. Snertillinn við hringinn
í þessum punkti sker fleygbogann
y = x2 + 1 nákvæmlega einu sinni.
Finnið alla slíka punkta ( a, b).
Svar: Fimm punktai- uppfylla skil-
yrðin. Það eru punktarnir (0, 1),
(V24/5, -1/5), (-V24/5, -1/5), (1, 0) og
(-1, 0).
Dæmi 6
Hver er minnsti fjöldi leikja sem
þarf til að hreyfa riddara úr horn-
punkti n x n taflborðs, þar sem
n > 4, í gagnstæðan hornpunkt á
sömu hornalínu?
Svar: Minnsti fjöldi leikja er heil-
töluhlutinn af (n + l)/3 margfaldað-
ur með tveimur.
Lausn: Merkjum reitina með hnit-
unum (x, y), x, y = 1, ..., n, og skoð-
um röð leikja sem leiða riddarann
frá reit (1,1) til reits (n, n). Við þetta
eykst x + y um 2(n - 1) en getur
mest aukist um 3 í einum leik. Við
sjáum einnig að í hverjum leik
breytist x + y til skiptis í oddatölu
eða slétta tölu og 1 + 1 og n + n eru
báðar sléttar þannig að fjöldi leikja
er slétt tala og stærri en eða jafn
2(n - l)/3. Ef 2m er lægsta talan
sem uppfyllir þessi skilyrði, þá er m
lægsta talan sem uppfyllir 2m >
2(n - l)/3, eða m > (n - l)/3, það er
m er heiltölu hluti (n + l)/3.
Auðvelt er að sjá hvernig leika má
riddaranum frá reit (1, 1) til reits
(n, n) í 2, 4, og 4 leikjum fyrir n = 4,
5 eða 6. Sér í lagi kemst riddarinn
frá reit (1, 1) til reits (4, 4) í 2 leikj-
um. Með þrepun má þá sýna fyrir
hvaða n sem er að riddarinn getur
komist frá (1, 1) til (n, n) í fjölda
leikja jöfnum tvöföldum heiltölu-
hluta (n + l)/3. Sá fjöldi er jafnframt
sá minnsti hugsanlegi, samkvæmt
því sem hér á undan fór.
Dæmi 7
Tveir reitir á 8 x 8 taflborði kall-
ast aðlægir ef þeir hafa sameigin-
lega brún eða sameiginlegan horn-
punkt. Getur kóngur sem byrjar á
einhverjum reit heimsótt alla reiti
nákvæmlega einu sinni þannig að í
öllum leikjum nema þeim fyrsta fari
hann á reit sem er aðlægur sléttum
fjölda þeirra reita sem hann hefur
heimsótt áður?
Svar: Nei, það er ekki mögulegt.
Lausn: Sönnum að þetta er ekki
hægt með því að ímynda okkur að til
sé lausn og knýja fram mótsögn.
Látum S vera mengi allra (órað-
aðra) tvennda aðlægra reita á tafl-
borðinu. Köllum stak í S yfírfaríð ef
kóngurinn hefur heimsótt báða reit-
ina sem tilheyra stakinu. Eftir
fyrsta leikinn er ein tvennd yfírfarin
og í hverjum leik þar á eftir mynd-
ast sléttur fjöldi yfírfarinna
tvennda. Þannig að eftir hvern leik
er heildarfjöldi yfírfarinna tvennda
oddatala. Ef til er lausn, þá er fjöldi
yfirfarinna tvennda í lokin, sem er
oddatala, sá sami og fjöldi staka í S.
En sýna má hins vegar að fjöldi
staka í S er slétt tala: Ef við snúum
taflborðinu 180 gráður um mið-
punktinn fáum við gagntæka vörpun
af S í sjálft sig sem hefur nákvæm-
lega tvo fastapunkta, nefnilega
tvenndirnar sem innihalda hvor um
sig tvo reiti sem hafa einungis mið-
punkt taflborðsins sameiginlegan.
Af þessu er ljóst að fjöldi staka í S
er slétt tala.
[Aths: Ekki skiptir máli hvort kóng-
urinn heimsækir hvern reit oftar en
einu sinni.]
Dæmi 9
Teningi með brúnalengd 3 er
skipt í 27 einingarteninga. Einingar-
teningarnir eru merktir af handa-
hófi með tölunum 1, 2, ... , 27, hver
með einni tölu. Við búum til allar 27
mögulegu línusummumar (það eru
níu slíkar summur þriggja heilla
talna fyrir hverja af stefnunum
þremur sem eru samsíða brúnum
teningsins). Hve margar, í hæsta
lagi, af línusummunum 27 geta verið
oddatölur?
Svar: í hæsta lagi 24.
net . . -
nankinn
hverju
betri vextir?
slóðin er
Stálvaskar
Intra stálvaskarnir fást í mörgum
stærðum og gerðum. Þessi vaskur
ber nafnið Eurora og hefur hlotið
margvíslegar viðurkenningar fyrir
frábæra hönnun.
öiilOinCíi
T€Í1GI
Smiðjuvegi 11 • 200 Kópavogur
Sími: 564 1088 * Fax: 564 1089
Fást í bygginsavöruvershmum um lanri allt