Morgunblaðið - 19.11.1999, Page 65

{
!
;
!
!
I
I
:
MORGUNBLAÐIÐ
FÖSTUDAGUR 19. NÓVEMBER 1999 65
' Bi/astudío ehfi
Litir:
Brúnt, grænt, blátt
Stærð: 225x260 cm.
149.900.-
MIO Húsgöan - Egilsstöðum, Miðvangi 5-7 - S. 471 2954
- meira fyrir minna!
Stóllinn ehf.
Smiðjuvegi 6d- Sími 554-4544
STÆRÐFRÆÐI
Lausn: Summa talnanna 1, 2, ..., 27
er slétt tala. Við getum skorið ten-
inginn með tveimur sléttum samsíða
einhverri hliðinni og þannig skipt
honum í þrjár hæðir sem hver inni-
heldur 3-3 einingakubba. Pá getur
summa níu talna á hverri hæð annað
hvort verið slétt tala á öllum hæð-
um, eða slétt tala á einni hæð og
oddatala á hinum tveimur. Síðara
tilvikið fæst ef tvær hæðanna inni-
halda 5 oddatölur og 4 sléttar tölur,
en þriðja hæðin 4 oddatölur og 5
sléttar tölur. Á oddatölu hæð er
hægt að fá eingöngu oddatölu
línusummur, til dæmis með því að
raða sléttu tölunum í hornin. Á
sléttrar tölu hæð er í mesta lagi
hægt að hafa 2 oddatölu línusumm-
ur. Það gerir samtals 8 oddatölu
hnusummur (3 + 3 + 2) með þessari
stefnu. Við getum skorið teninginn
og beitt sömu aðferð fyrir hinar
stefnumar tvær, við fáum því sam-
tals í mesta lagi 24 oddatölu
hnusummur.
Þennan hámarksfjölda oddatölu
línusumma fyrir allar stefnur getum
við alltaf fengið með því að hafa ein-
göngu oddatölur á einni hæð, hafa
oddatölur í einni skáhnunni á
annarri hæð og með því að hafa
tvær oddatölur í skálínu á þriðju
hæðinni.
Dæmi 10
Er unnt að skipta punktum á
hringskífu (hringjaðarinn meðtal-
inn) með geisla 1 í þrjú hlutmengi
þannig að ekkert hlutmengjanna
innihaldi tvo punkta með innbyrðis
fjarlægðina 1?
Svar: Nei
Lausn: Táknum miðju hringskífunn-
ar með 0 og látum punktana Pi,... ,
Pg vera hornpunkta innritaðs reglu-
legs sexhyrnings (í þessari röð). Ef
að umrædd skipting er til, þá myndu
hlutmengin {0}, {Pi, P>, P, } og {Pz,
Pi, Pg } tilheyra mismunandi flokk-
um. Lítum nú á hringboga frá 0 til
Pz með miðju í Pi, og sambærilega
hringboga með miðjum í Pi og Ps.
Hringur með miðju 0 og geisla 1/ 3
sker þessa hringboga í homum jafn-
hliða þríhyrnings með hliðarlengd 1.
Horn þessa þríhyrnings tilheyra
mismunandi floklóim, en ekkert
þeirra tilheyrir sama flokki og Pi,
sem er mótsögn. Skiptingin er því
ekki til.
Dæmi 16
Finnið minnstu jákvæðu heilu töl-
una k sem hefur framsetninguna
k = 19 ” - 5 m þar sem m og n era já-
kvæðar heilar tölur.
Svar: 14.
Lausn: Notum leifareikning. Við
höfum að k " 19" - 5” " (-1)" - 5
(mod 20). Þannig að k " 14 ef n er
oddatala og k " 16 ef n er slétt tala.
Talan 14 er því minnsta hugsanlega
talan með þessa framsetningu og
þar sem augljóslega má skrifa hana
á þennan hátt er hún svarið.
Dæmi 17
Er til endanleg runa af heilum töl-
um ci,..., Cnþannig að allar tölumar
a + ci...a + Cn séu frumtölur fyrir
fleiri en eina en ekki óendanlega
margar heilar tölur a ?
Svar: Já
Lausn: Látum n = 5 og lítum á run-
una 0, 2, 8, 14, 26. Ef við bætum
a = 3 eða a = 5 við allar þessar tölur
þá fáum við frumtölur. Þar sem töl-
urnar 0,2,8,14 og 26 hafa hver um
sig mismunandi leif með tilliti til 5
myndu tölumar a + 0, a + 2, a + 8,
a + 14 og a + 26 einnig hafa mis-
munandi leifar, og því er ein af þeim
deilanleg með 5. Séu allar tölumar a
+ 0, a + 2, a + 8, a + 14 og a + 26
frumtölur verður því ein þeirra að
vera 5 sem aðeins gerist ef a = 3 eða
a = 5.
Dæmi 18
Látum m vera heila tölu þannig
að m " 2 (mod 4). Sýnið að til er í
mesta lagi ein þáttun m = ab þar
sem a og b em jákvæðar heilar tölur
sem uppfylla 0 < a - b < (5 +
4 (4m + 1)).
Lausn:
[Aths. Þetta reyndist lang erfið-
asta dæmið þar sem enginn kepp-
andi fékk eitt einasta stig fyrir það.]
Með því að hefja seinni ójöfnuna í
annað veldi fáum við
(a - b)2 < 5 + 4 (4m + 1)
(1)
(a + b)2 < 5 + 4 (4m + 1)
+ 4m = ( (4m + 1) + 2)2 (2)
a + b < (4 m + 1) + 2
(3)
Þar sem a > b þá gefa ólíkar
þáttanir m = ab mismunandi gildi
fyrir summuna a + b (ab = m, a + b
= k, a > b hefur í mesta lagi eina
lausn (a, b)). Þar sem m " 2 (mod 4),
þá verður önnur af a og b að vera
oddatala og hin slétt tala, þannig að
a + b verður að vera oddatala. At-
hugum að við höfum alltaf að a + b
t 2 (ab) = (4m). Þar sem 4m getur
ekki verið femingstala fáum við
einnig að a + b $ (4m + 1). Þar
sem a + b er oddatala, og bilið
[ (4m + 1) , (4m + 1) + 2 2 inni-
heldur nákvæmlega eina oddatölu,
þá getur í mesta lagi verið eitt par
(a, b) þannig að a + b < (4m + 1)
+ 2, eða þannig að (a - b) < (5 +
4 (4m + 1)).
Dæmi 19
Sannið að til eru óendanlega
margar sléttar jákvæðar heilar töl-
ur k þannig að um sérhverja fram-
tölu p gildi að jf + k er samsett
tala.
Lausn: Við skulum skilgreina óend-
anlega mnu af mismunandi sléttum,
jákvæðum heiltölum k sem em
þannig að ekki er hægt að skrifa
þær á forminu q - j? með bæði p og
q frumtölur. Athugum að ef k =
q - p2 með p og q frumtölur og ef
k " 2(mod 3), þá er p = 3. Því annað
hvort er p2 " l(mod 3) og þar með
væri q " 0(mod 3) og því ekki fmm-
tala, eða að p2 * 0(mod 3) en þá er
p = 3. Lítum því á k = 6n + 2. Ef
k = q - með p og q fmmtölur þá
verður ff = 9 og q = 6n + 11. En
6n + 11 er ekki fmmtala ef
n = llm. Látum því óendanlegu
mnuna vera þessa: k = 66m + 2.
Aths: Minnsta k sem ekki má tákna
með q - p2 er 26.
Dæmi 20
Látum a, b, c og d vera frumtölur
þannig að a > 3b > 6c > 12d og a2 -
b2 + c2 - d2 = 1749. Ákvarðið öll
möguleg gildi á a2 + b2 + c2 + d2.
Svar: a = 43, b = 11, c = 5, d = 2.
Lausn: Ef a2 - b2 + c2 - d2 á að
vera oddatala, þá verður einn af
ferningunum að vera slétt tala.
Fyrst d er minnst af framtölunum
fjómm verðum við því að hafa d = 2.
Við höfum að 1749 = é- lf + é-d2
> 9W - b2 + 4d2 - d2 > 8& + 12,
þar með er b2 < 1737/8 < 1800/8 =
225 = 152, og því er b £ 13. Þá leiðir
2 d < c < b/2 af sér að c = 5, og því
er b = 11 eða b = 13.
Ef b = 11 þá er a2 = 1749 + d2
- c2 + b2 = 1849 = 432. Ef b = 13
þá er a2 = 1897 sem er ekki fem-
ingstala.
Því er a = 43, b = 11, c = 5 og
d = 2 og auðveldlega má sannreyna
að þessar tölur uppfylla öll skilyrðin
í dæminu.
flBt . —
bankinn
www.nb.is
Hvernig er hægt
að fa afgreiðslu á 362 stöðum
hjá banka sem er ekki með útibú?
...svariö er á
www.nb.is
Grand Cherokee jeppar eru
fulltrúar fyrir það besta í
bandarískum bítaiðnaði enda
hafa bítasmiðir Cherokee
fengist við að bæta þá og fága
áratugum saman.
Grand Cherokee Laredo er nýr
jeppi sem er byggður á þessum
trausta grunni en markar
jafnframt tímamót vegna
ýmissa nýjunga. Nægir að nefna
Qudra Track II millikassann sem
er einstakur (sinni röð.
Grand Cherokee Laredo er
eðaljeppi sem fullnægir ítrustu
kröfum Evrópubúa um búnað
og aksturseiginleika enda settur
saman í Evrópu og stenst alla
evrópska gæðastaðla.
3 ára/60.000 km verksmiðjuábyrgð.
Skoðun eftir 1000 km innifalin.
4 Verð 4.590.000
Innftutningun Bílastúdíó
Sala: Bílasala Reykjavíkur
Varahluta- og viðgerðaþjónusta: Bíljöfur
Aukahlutir á mynd:
Samlitt grill. stuðarar og hliðar.
RtXK'JAVJKU
Bftdshöfða 10 • Sími: 587 8888 • Fax: 587 8891 • Netfang: bilasalarvk@simnet.is