Morgunblaðið - 24.02.2001, Side 34

MENNTUN
34 LAUGARDAGUR 24. FEBRÚAR 2001 MORGUNBLAÐIÐ
OKKUR langar líklega öllað vinna þannig að ummuni. Það á við um okkursjálf, nám okkar og eigin
skilning, en einnig starf okkar og
áhrif á aðra. Síðasti þáttur sjón-
varpsþáttanna Líf í tölum fjallaði
um að vinna svo um muni. Svo um
muni í stærðfræðinámi, en einnig
svo um muni í víðtækara samhengi.
Hann fjallaði ekki aðeins um að ná
betri tökum á stærðfræði, heldur
einnig að ná í víðtæk-
ara samhengi betri
tökum á sínu eigin
námi (nemendur) og
betri tökum á sínu eig-
in starfi (kennarar).
Ævilanga námið
Allt frá níunda ára-
tugnum hafa stefnu-
markanir í menntamál-
um og ýmsar
þjóða-áætlanir lagt
áherslu á hugtakið
„ævilangt nám“ sem á
ensku er kallað „lif-
elong learning“. Það er
ekki röð af smánám-
skeiðum öðru hverju
heldur miklu fremur
afstaða og iðkan hvers einstaklings.
Átt er við að líf og nám séu sam-
fléttuð og mótist af þeirri skoðun að
við lifum til að læra allt eins og við
lærum til að lifa. Frá sjónarhóli
menntamála er slík afstaða heilla-
vænleg fyrir einstaklinga. Frá sjón-
arhóli þjóðhagfræði er hún einnig
heillavænleg fyrir þjóðfélög.
Við erum aldrei fullnuma, búin að
finna lausnina okkar sem við getum
nýtt það sem eftir er ævinnar.
Þannig er lífið bara ekki lengur.
Fyrir því finnur fólk í öllum stéttum
á tímum upplýsingatækninnar, þar
sem sívaxandi þekking er ekki að-
eins verðmæti þess einstaklings
sem býr yfir henni heldur verðmæti
í miklu víðtækara samhengi. Þar
sem góðar og íhugaðar hugmyndir
eru ekki aðeins ófullburða angar
sem bíða þess að djarfir fram-
kvæmdamenn hrindi þeim í fram-
kvæmd og slái sig til riddara, heldur
eru þær dýrmæti sem menn leita
eftir og sækjast eftir að hlúa að.
Þetta sannar okkur ekki síst sú at-
hygli sem beinist að nýsköpun,
frjórri hugsun og áræðni í hugsun.
Og í þess konar samfélagi skiptir
máli að vera ekki hræddur við að
læra, hvorki að að læra það sem
nýtt er eða að læra að sjá hið gam-
alkunna skýrar og í nýju ljósi. Ekki
á þetta nú aðeins við um þá ungu
heldur alla.
En hvað með stærðfræðina?
Það sem sagt er hér á undan á
ekki síst við um stærðfræðinám og
varðar bæði hugmyndir og afstöðu
nemenda og kennara. Það á líka við
þá möguleika sem stærðfræðinám
getur opnað til að „læra að læra“ og
að „læra að endurlæra“. Að læra að
glíma við og leita samhengis, að
læra að draga röklegar ályktanir og
setja þær fram, að fá tækifæri til að
uppgötva sífellt ný og ný tengsl og
finna öryggi og frekari þekkingar-
löngun sem fylgja vaxandi yfirsýn
eru allt mikilvægir þættir í stærð-
fræðinámi. En þeir eru það líka í
námi yfirleitt og því þjónar stærð-
fræðinámið víðtæku hlutverki.
Er eitthvað áhugavert að
gerast í kennslustofunum?
En hvar getum við séð þetta ger-
ast? Þeir sem horfðu á Líf í tölum
síðasta mánudagskvöld sáu þetta
gerast inni í kennslu-
stundum erlendis og
margir hafa minnst á
við mig að þeim hafi
fundist það mjög
áhugavert. Þeir sömu
hafa sumir spurt hvort
slíkt sé ekki að finna í
íslenskum skólum. Því
er fljótsvarað: Þetta
gerist líka inni í ís-
lenskum kennslu-
stundum. En til þess
að fara lengra í
svarinu er nauðsynlegt
að líta á stærðfræði-
nám sem heildstætt
verkefni.
Við getum vægt
áætlað talað um að
50.000 nemendur séu að læra stærð-
fræði 5 eða 6 stundir á viku hér á
landi og að 2700 kennarar séu að
kenna þeim. Ef við lítum á nám sem
starf er þetta engin smávegis
starfsgrein. Og þá kemur spurning-
in aftur: Er kennslu, eins og fólk
var að vísa til, að finna í íslenskum
skólum? Já hana er að finna og í
meiri mæli en margir gera sér grein
fyrir. En hið sama á við hér og í
Bandaríkjunum: Slíkum kennslu-
stundum þarf að fjölga til muna og
margfeldisstuðullinn há tala. Til
þess að um raunveruleg margfeld-
isáhrif verði að ræða þarf umfram
allt vandaða vinnu og víðtækan og
góðan skilning á því hvað starfsþró-
un kennara þurfi að fela í sér.
Stærðfræði í lífi barna
Eitt af því sem mikilvægt er að
skilja, er að við lærum stærðfræði
víðar en í skóla. Sá hópur sem kann
þar best til verka er reyndar mjög
ungur, svo ungur að skólinn er ekki
búinn að segja honum hvar maður
læri „alvöru stærðfræði“. Einstak-
lingar í þessum hópi eru þess vegna
oft af sjálfsdáðum að átta sig á
stærðfræðilegum fyrirbærum eins
og fjölda, tölum, formum, mynstrum
og fleiru. Námið þeirra stjórnast af
eigin forvitni og spurningum. Og
spurningarnar eru merkingarfullar
í huga þeirra. Þess vegna verða
lausnirnar þeirra það einnig. Og
þess vegna man einstaklingurinn
þær og heldur áfram að smíða við
þekkingu sína. Þá eru þessir ein-
staklingar einlægir og ræða ótta-
laust um hvernig þeir skilja og þess
vegna er hægt að átta sig betur á
því hvers eðlis skilningur þeirra er
og eiga við þá viðræður sem hjálpa
til að hann aukist og dýpki. Þetta
eru vissulega verðmætir eiginleikar
í ævilöngu námi en ljóst má vera að
ég er hér að tala um börn á einu
gjöfulasta þroskaskeiði ævinnar,
undir skólaaldri og í byrjun hans.
(Stærðfræði)sögur af börnum
Tvær stuttar sögur gefa kannske
enn skýrar til kynna að vert sé að
hlusta eftir því sem börnin segja og
eru að velta fyrir sér, hlusta á virk-
an hátt og nýta til viðræðna og frek-
ari dýpkunar.
1. Fjögurra ára drengur var að
reyna að svara því hvað frændi hans
hefði verið gamall næst áður en
hann varð sex ára. Með frænku,
sem fæddist á síðasta ári, í huga
byrjaði hann að rekja sig fram:
„Fyrst var hann núll ára…. og svo
var hann eins árs…. og svo var
hann…“ (hér kom þögn og umhugs-
un í augnablik). „Og svo var hann
tveir ára …. og svo var hann þrír
ára … og svo var hann fjórir ára…
og svo var hann fimm ára … og svo
var hann sex ára ... og...“ Og nú var
spurningin gleymd því að uppgötv-
unin var svo spennandi og hann hélt
áfram að segja „Og svo var
hann…“. Uppgötvunin var sú að
það væri hægt að nota tölurnar sem
hann taldi með til að tala um hvað
fólk væri gamalt. Orðin tveggja,
þriggja og fjögurra eru ekki einföld
né heldur skyldleiki orðanna
tveggja og tveir. En þarna small
saman.
2. Örlítið eldri drengur var að
ganga frá leikföngunum sínum og
taldi þau um leið. „….sex, sjö, átta,
níu, tíu, ellefu, tóóóólf …… neeei
……. sex, sjö átta, níu, tíu, eittán,
tveirtán, þrírtán,….“. Þetta var ekki
ómerk uppgötvun á eðli talnakerf-
isins og hvað stæði að baki orðunum
ellefu og tólf. Ég hef iðulega spurt
kennaranema og aðra fullorðna
hvað þeim finnist um töluheiti Dana
og Þjóðverja og þeir eru sammála
mér um að það sé örlítið andsnúið
að lesa úr tveggja stafa tölum eins
og þessar þjóðir gera með „to og
tredive“ eða „vier und zwanzig“. Og
aðspurðir telja þeir flestir að þetta
sé ekki að finna í okkar máli. Svo er
þó að sjálfsögðu ekki og enginn Ís-
lendingur les úr 15 sem tánfimm
eða 12 sem tántveir.
Börn og kennarar
saman á námskeiði
Sögurnar valdi ég til að minna á
að það er raunhæft að segja að ein-
staklingar uppgötvi í stærðfræði-
námi og það getur gerst án mikillar
eða nokkurrar hjálpar frá öðrum.
Þeir uppgötva stærðfræðilegt sam-
hengi eða stærðfræðilega merkingu
og öðlast nýja sýn á það sem þeir
þekktu eitthvað til áður. Orðið upp-
götvun á hér ágætlega við. Aðstæð-
ur sem þessar sýna þungavigtarvið-
burði í námi og það er mikilvægt að
taka eftir þeim.
Þetta getur ágætlega gerst í
kennslustundum einnig. Og það ger-
ist í raun oft. En það fer alfarið eftir
skipan mála í kennslustundinni, vali
viðfangsefna, nálgunum, frelsi við
að nota gögn og áherslum í vinnu og
umræðum, hvort það heyrist sem
einstaklingurinn segir og hvort
hann yfirleitt hugsar þannig upp-
hátt að framlagið njóti móttöku sem
skyldi. Þar er að mörgu að hyggja.
Ég var líka spurð hvort ekki væri
hægt að koma barni á svona stærð-
fræðinámskeið þar sem væri verk-
leg vinna og mjög fjölbreytt og þar
sem farið væri út í stærðfræðitím-
unum. Fyrir því er líka löng
reynsla. Með kennurum á endur-
menntunarnámskeiðum og nemend-
um í stærðfræðivali hef ég líklega
haldið 15-20 slík námskeið. Tilgang-
urinn var að skapa þátttakendum
aðstæður til að reyna margt í verki
með börnum eða unglingum sem
þeir þekktu lítið eða ekki áður og á
þann hátt að unnt væri að vinna úr
reynslunni. Á fjölmennasta nám-
skeiðinu voru nær 100 börn og
kennararnir sem tóku þátt frá Sví-
þjóð og Íslandi. Það væri hægt að
halda miklu fleiri slík námskeið ef
við værum fleiri sem komum að
þessu máli.
Fjölskyldustærðfræði
og verkfæri
Enginn hefur spurt mig um Fam-
ily Math sem fjallað var talsvert um
í þættinum. Þess vegna hef ég ekki
bent neinum á það enn að einn
Reykjavíkurskólanna nýtti þær
hugmyndir og efni. Það var vökult
og áhugasamt foreldri sem náði
samstarfi við vökulan og áhugasam-
an skólastjóra og samstarfskennara
hans. Og það tókst vel. (Lauganes-
skóli).
Enginn hefur heldur spurt mig
hvort það sé mikið til af námsgögn-
um í stærðfræði í íslenskum skólum
og hvort stærðfræði sé kennd í sér-
stökum stofum til þess að hægt sé
að ganga greiðlega að búnaði. Það
er til talsvert mikið af námsgögnum
í íslenskum skólum og þau eru sums
staðar notuð allmikið eða mikið. En
það búa líka mörg þúsund íslensk
börn og unglingar við það að sjá fátt
annað en reikningsbókina og skrif-
færin. Það er ekki vegna þess að
gögnin séu dýr eða lítt fáanleg. Það
er vegna þess að það þarf að læra
að nota gögn ef maður hefur ekki
kynnst þeim sjálfur sem nemandi.
Elstu hérlendu skrif um gildi ein-
stakra hluta eins og talnagrindar-
innar í stærðfræðinámi eru frá lok-
um nítjándu aldar en kringum 1975
komu fram fyrstu skrifin um gildi
námsgagna almennt í stærðfræði-
námi og um þá möguleika sem
stærðfræðistofur opna nemendum
og kennurum. Gögn hafa verið til í
skólum til stærðfræðikennslu í
meira en aldarfjórðung og magn
þeirra og notkun hefur vaxið í beinu
samhengi við kunnáttu starfs-
manna. Þau eru notuð snilldarlega
vel sums staðar og þeim stöðum fer
fjölgandi. Á sama hátt eru þrautir
víða lagðar til grundvallar í náminu
og séð til þess að nemendur eigi
gagnlegar umræður. Og þeim skól-
um fer einnig fjölgandi. Skoðum
næst hvernig unnt er að taka hönd-
um saman um að fækka þeim börn-
um sem lifa við skertar aðstæður í
stærðfræðináminu sínu. Þar geta
margir komið að og þar þurfa marg-
ir að koma að.
Líf í tölum VIII/ Í síðasta sjónvarpsþættinum Líf í tölum (RÚV 19/2) veittist áhorfendum innsýn í framfarir í
kennsluháttum í stærðfræði í Bandaríkjunum. Anna Kristjánsdóttir segir hér frá hvernig gera megi greinina
grípandi fyrir nemendur og kennara, t.d. með því að þætta saman við aðrar greinar.
Kennsla
sem fangar
nemendur
Skemmtileg stærðfræði fékk veglegan sess í grunn- og framhaldsskól-
um á Degi stærðfræðinnar árið 2000 og voru hefðundnar kennslubækur
látnar víkja fyrir stærðfræðiþrautum á borð við hvað mörgum fótbolt-
um mætti koma fyrir í fólksbíl.
 U.þ.b. 50.000 nemendur læra
stærðfræði 5 eða 6 stundir á viku.
 Hvernig miðla u.þ.b. 2.700 kenn-
arar þessari þekkingu?
Anna
Kristjánsdóttir
FYRIR þremur árum sótti blaða-
maður Morgunblaðsins tíma á
námskeiði í Lauganesskóla þar
sem umræður um stærðfræði áttu
sér stað milli foreldra, kennara
og nemenda.
Námskeið var vegum Íþrótta-
og tómstundaráðs Reykjavíkur
og Lauganesskóla, og glímdu
nemendur og foreldrar saman í
skólastofunni við skemmtileg
dæmin.
Hugrún Harðardóttir og Guð-
laug Bjarnadóttir kennarar voru
leiðbeinendur á námskeiðinu sem
var frá klukkan 16.30-18 sex mið-
vikudaga í röð. „Við byggjum á
bandarísku efni sem heitir Family
math (stærðfræði handa fjöl-
skyldunni),“ sögðu þær og að það
hafi virkað mjög spennandi á
þátttakendur og hafi vakið
áframhaldandi umræður þegar
heim var komið.
Þær höfðu þýtt og staðfært
verkefnin og voru tímarnir settir
saman af styttri og lengri dæm-
um. Markmiðið var að nemendur
og foreldrar fái að glíma við þau á
eigin forsendum og aðferðir eru
ekki þvingaðar upp á einn né
neinn.
Í stofunni voru nemendur með
teninga og vasareikna og fleiri
hjálpartæki. Börnin virtust vera
sérlega sæl með að eiga ótruflaða
stund með foreldrum sínum. Hér
truflar ekkert, sagði Guðlaug,
„og þau vinna saman að ákveðn-
um verkefnum og leika sér.“ Hug-
rún segir að þau geti fengið auka-
verkefni heim ef þau geti ekki
hætt.
Ágúst Jörgenson var með son
sinn á þessu námskeiði og sagðist
kunna vel við sig, „það þjálfar
bæði rökhugsun og skapandi
hugsun,“ sagði hann, „þetta bygg-
ist á því að koma saman og glíma
við stærðfræði á lifandi hátt.“
Fjölskyldustærðfræði
ÁRLEGA eru tónlistarskólar lands-
ins með sérstaka dagskrá fyrir al-
menning til að kynna starfsemi sína.
Dagur tónlistarinnar er í dag og eru
tónlistarskólar með opið hús í tilefni
dagsins.
Tónskólinn Do Re Mi verður til
dæmis með opið hús kl. 11–13 í
Frostaskjóli 2.
Haldnir verða tveir stuttir tón-
fundir, sá fyrri kl. 11:00 og sá seinni
kl. 12:00. Þar munu nemendur leika
á öll þau hljóðfæri sem kennt er á í
skólanum. Jafnframt gefst kostur á
að kynnast hljóðfærunum lítillega og
ræða við kennara skólans.
Nemendur forskólans og foreldr-
ar þeirra eru sérstaklega velkomnir,
en þessir nemendur standa frammi
fyrir því á næstunni að velja sér
hljóðfæri til að læra á.
Opið hús
í tónlistarskólum
Morgunblaðið/Kristinn