Morgunblaðið - 17.03.2001, Blaðsíða 39

MENNTUN
MORGUNBLAÐIÐ LAUGARDAGUR 17. MARS 2001 39
VIÐ LOK þessa greinaflokksum stærðfræði og stærð-fræðinám er ástæða til aðstaldra við nokkur megin-
atriði sem ég hef fjallað um og
freista að setja þau í samhengi.
Einnig er bent á verk sem unnið er
að á vettvangi skólamála og hvernig
þeim vindur fram. En ítrekað hefi ég
bent á að stök verkefni, þótt kölluð
séu átak, vega lítið þegar tekist er á
við málefni eins og þessi, málefni
sem eru svo samofin menningu okk-
ar að ekki er talið taka því að tala um
en þó svo sundurrofin frá hinni sýni-
legu og opinberu menningu okkar að
mikilvægi þeirra hverfur sífellt í
skuggann.
Gegnum árin hef ég í viðræðum
mínum við ýmsa stærðfræðinga, og í
því sem ég hef hlustað á þá segja eða
lesið eftir þá, fundið efasemdir um að
unnt sé að skrifa yfirleitt nokkuð um
stærðfræði fyrir almenning. Efa-
semdir hef ég einnig heyrt um að
unnt sé að gera efni fyrir sjónvarp
svo að sú stærðfræði sem sýnd er sé
verðug. Slíkar efasemdarraddir hef
ég einnig heyrt frá fólki sem hefur
litla þekkingu á stærðfræði. Rökin
snúast þá ekki um áhyggjur af því að
efnið verði óverðugt heldur
óskemmtilegt.
Læsi Íslendinga í stærðfræði
Sumir viðurkenna mikilvægi þess
að gera fólki grein fyrir raunveru-
legu eðli og hlutverki stærðfræði í
nútíma- og framtíðarþjóðfélagi. En
eitt er að skilja, annað að vilja. Og
eitt er að vilja, annað að kunna. Það
krefst umhugsunar og yfirsýnar, að
skrifa fyrir almenning um flókin
málefni sem sjaldan sjást í fjölmiðl-
um. En mikilvægt er að efla slíka
kynningarskyldu fræðimanna. Með
því að mun fleiri komi að slíku verki
varðandi stærðfræði en höfundur
þessara greina, getur flóra þess sem
skrifað er orðið fjölbreyttari og um
leið náð athygli mun fleira fólks.
Sjónvarpsþættirnir
Líf í tölum hafa greini-
lega víða kveikt áhuga.
Eftirlaunaþegar, nem-
endur á barnastigi og all-
ir aldurshópar þar á milli
hafa sent þakkarkveðjur og stundum
eitthvað um það hvaða þættir hafi
höfðað sterkast til þeirra. Margar
spurningar hafa greinilega vaknað
og hlutdeild stærðfræði í alls kyns
störfum hefur komið í ljós. Með sýn-
ingu Sjónvarpsins á þessum þáttum
er óhætt að fullyrða að læsi margra
Íslendinga á stærðfræðisviðið og for-
vitnileika þess hefur eflst eða jafnvel
orðið til. Þökk sé Sjónvarpinu fyrir
það. Þökk einnig Morgunblaðinu
fyrir að birta þennan greinaflokk
samhliða sjónvarpsþáttunum en
hann var skrifaður til þess að setja
inntak þeirra í víðtækara samhengi
og tengja íslenskum aðstæðum.
Sá sem vill læra stærðfræði að
loknum grunnskóla hefur vart getað
það nema á stærðfræðitengdum
sviðum háskóla. Með rafrænu að-
gengi að fræðsluefni, námsverkefn-
um og leiðbeiningum eru einstak-
lingar nú frjálsari að því hvar og
hvernig þeir skapa sér námsum-
hverfi. En flestir telja erfitt að læra
stærðfræði án kennara. Rafrænu
miðlarnir og myndefni bjóða hins
vegar möguleika á að breyta stærð-
fræðinámi innan skóla þannig að það
höfði til mun víðtækari hóps en verið
hefur og jafnvel einnig
til fólks sem ekki stefnir
að prófi heldur vill bara
fræðast sér til ánægju.
Hér á ég að sjálf-
sögðu ekki við æfinga-
dæmi í algebru eða al-
mennum brotum sem
vissulega er að finna í
talsverðum mæli á Net-
inu allt eins og verið
hefur í áratugi í æfinga-
heftum skólanna. Vand-
inn sem slíkum æfinga-
dæmum er ætlað að
leysa er ekki rétt
greindur. Meginvand-
inn er ekki sá að nem-
endur geti ekki lært að-
ferðir til að leysa dæmi og munað
það í takmarkaðan tíma þar til próf
er yfirstaðið. Vandinn er sá að nem-
endur átta sig ekki á því hvaða fyr-
irbærum í lífinu almenn brot lýsa og
um hvað algebra snýst. Við slíkum
vanda er ekki hægt að bregðast á
annan hátt en að auka læsi þeirra á
þau svið sem fela í sér hlutföll og
margvíslegan stærðarsamanburð
þar sem skilningur á almennum
brotum er mikilvægur. Og það er
ekki nóg að benda á þetta, þarna
verður meginþungi vinnunnar að
liggja.
Á sama hátt verður nemandi að
sjá mörg dæmi um regluleika í tölum
og reikningi til þess að byrja að
greina að sumt á alltaf við, er algilt
og kallar á hugtök og tákn algebr-
unnar og þá yfirsýn sem hún veitir
varðandi talnareikning
og síðar fleiri stærð-
fræðisvið ef nemandi
heldur lengra. Æfinga-
dæmi án tengsla, skiln-
ingsleitar og umræðu
hafa gengið sér til húðar fyrir löngu
og gera fátt annað en viðhalda
vanda.
Markmið í stærðfræðikennslu
Læsið á stærðfræðilegu fyrirbær-
in í umhverfinu er of lítið. Og aðgerð-
ir til þess að efla það stranda oftar en
ekki á því að kennarar og foreldrar
hafa ekki sjálfir mátað á sig þau
„stærðfræðilegu gleraugu“ sem til
þarf. En hægt er að koma móts við
þá kennara sem vilja taka á málinu
og einnig foreldra. Talsvert stór hóp-
ur kennara óskar eftir slíku en þarf
stuðning og samstarf. Áður en það er
rökstutt frekar er rétt að greina
nokkra meginþætti sem ástæða er að
hafa að markmiði í allri stærðfræði-
kennslu.
 Að nemandinn sé læs á þau stærð-
fræðilegu fyrirbæri í umhverfi sínu
sem hann hefur þroska og reynslu til
að gera sér grein fyrir.
 Að nemandinn sé fær um að glíma
óhræddur við þrautir sem tengjast
þessum fyrirbærum og hann skilur
inntakið í. Hann geri það með hverj-
um þeim hjálpartækjum sem henta
honum, af fullum skilningi á því sem
hann gerir og fullfær um að gera
grein fyrir lausnum sínum og leiðum.
 Að nemandinn skilji stærðfræði-
legt samhengi án þess að tengja það
sérstökum tilvikum og
geti við lausnir þrauta
fært sér í nyt þekkingu
á hliðstæðum þrautum
eða hlutum þeirra. Að
hann geti byggt upp sí-
vaxandi þekkingu sína
og yfirsýn án þess að
hvati eða tilefni komi
frá öðrum en geti sjálf-
ur sett fram spurning-
ar til að glíma við út frá
eigin yfirsýn og kunn-
áttu.
Sem háskólakennari
lít ég ofanskráð mark-
mið sem mjög mikil-
væg og er að sjálf-
sögðu ekki ein um það.
En barnakennarinn getur einnig
nýtt þessi markmið og byrjenda-
kennari ekki síður en aðrir fái hann
til þess nokkurt liðsinni.
Mikilvægt er að láta aldrei deigan
síga. Hvert skref sem stigið er þarf
að vera tilefni til að stíga hið næsta.
Þess vegna er brýnt að benda nú
þegar á viðfangsefni sem myndi
muna verulega um og unnt er að
framkvæma. Þau keppa ekki við
neitt annað sem er í gangi, hvorki
stutt námskeið víða um land eða þró-
unarverkefni einstakra kennara-
hópa. En þau gefa möguleika á var-
anlegri áhrifum en þessi verk.
Endurmenntun
kennara
Skýrslur um endurmenntun kenn-
ara þykja sýna mikla þátttöku. En
fæstir gera sér ljóst hve hlutfallslega
lágar tölurnar eru. Lítill hluti þeirra
þúsunda sem kenna stærðfræði í
skólum landsins hefur sóttendur-
menntunarnámskeið á því sviði und-
anfarinn áratug og langflestir aðeins
stutt námskeið upp á 20 til 30 stund-
ir. Slík námskeið duga ekki til að
valda þeim breytingum sem eru
nauðsynlegar að mati Bandaríkja-
manna varðandi skólastarf þeirra og
allar rannsóknir hér á landi benda til
þess að hið sama eigi við hér. Þeir
benda hins vegar á langt þróunar-
ferli kennarahópa innan einstakra
skóla sem fyrirmynd en þá leið hafa
Japanir byggt upp undanfarna hálfa
öld. Til eru dæmi um þessi vinnu-
brögð hér á landi en þau tengjast
einkum því sem kallað er Stærð-
fræðikennsla byggð á skilningi
barna.
Stærðfræðikennsla byggð á skiln-
ingi barna er grundvölluð á rann-
sóknum Carpenters, Mosers og
Rombergs kringum 1980. Þeir at-
huguðu skilning barna á orðadæm-
um úr nánasta umhverfi þeirra áður
en þeim voru kenndar nokkrar að-
ferðir eða uppsetningar. Þessar
rannsóknir hafa fremur flestum öðr-
um varpað ljósi á hve miklu meiri
skilning börn hafa á þessum málum
en skólinn hefur fært sér í nyt í byrj-
endakennslu. Rannsóknir þeirra
hafa verið endurteknar víða um heim
með sömu niðurstöðum. Í framhaldi
þeirra hófst síðan markviss vinna
með byrjendakennurum við að skoða
hvernig börn færu eðlilega að og að
gefa kennurum þannig kost á að end-
urskoða eldri leiðir í kennslu og að
byggja á skilningi barnanna í stað
þess að fylgja bókum síðu fyrir síðu.
Stærðfræðikennsla byggð á skilningi
barna hófst hér fyrir sex árum og
hafa stuttar kynningar náð til fjöl-
margra. Haustið 1999 jók mennta-
málaráðherra stundafjölda byrjenda
í stærðfræði. Það er viðurkenning á
mikilvægi byrjendakennslunnar og
ósk um að gefa þessum þætti miklu
meiri gaum en áður. Öflugt starf
með byrjendakennurum til að styðja
þá í að nýta skilning barna og byggja
á honum er bæði mikilvægasta verk-
efnið að taka á í endurmenntun og
einnig það aðgengilegasta. Þar er
líka aðveldast að ná samstarfi við
foreldra og að mynda sameiginlegt
umhverfi fyrir stærðfræðinám
barnanna.
Námsgögn;
myndbönd …
Þeim sem ber saman lista yfir þau
námsgögn sem skólum stóðu til boða
árið 1985 og svo aftur árið 2000 verð-
ur líklega fyrst starsýnt á þann
fjölda myndbanda sem kominn er á
markaðinn. Mismunandi er þó eftir
námsgreinum hvert framboðið er og
í stærðfræði er það afar takmarkað
þótt til sé erlendt efni til þýðingar.
Góð myndbönd geta skipt miklu máli
við að gera stærðfræðikennsluna
frjórri og nemendur betur læsir á
stærðfræðileg fyrirbæri í umhverfi
sínu. Því skiptir miklu máli að fá
sjónvarpsþættina Líf í tölum á
myndbönd fyrir fram-
haldsskóla og eldri nem-
endur grunnskólanna.
Ósk um það var komið á
framfæri strax og Sjón-
varpið hafði ákveðið að
taka þættina til sýningar en ekki er
enn ljóst hvort opinberir aðilar hafi
fé til að leggja í þetta verk. Vonandi
verður það þó.
Myndböndin ein duga samt
skammt. Með þeim þarf verkefni og
aðgengilegt lesefni. Unnið er að
slíku við Kennaraháskóla Íslands og
að fjármögnun. Einnig hefur verið
skoðaður möguleiki á að bjóða nám-
skeið fyrir kennara sem vilja nýta
myndböndin ásamt efni á vef og
fleiru til þess að auka stærðfræðilegt
læsi og áhuga nemenda sinna og þar
með yfirsýn þeirra og árangur.
Ísland er eyja en þó ekki í öllum
skilningi. Við búum við sömu vanda-
mál á þessu sviði og fjöldi annarra
vestrænna landa. Lítum á dæmi um
aðgerðir innan nokkurra þeirra.
Í viðtali Ritu Colwell forstjóra
National Science Foundation í
Bandaríkjunum við Los Angeles
Times fyrir rúmri viku var rætt um
forgangsverkefni hennar fyrir sjóð-
inn. Colwell er líffræðingur og hefur
stjórnað mjög veigamiklum rann-
sóknaverkefnum á erfðamengi
mannsins. Engu að síður hefur hún
sett stærðfræði í forgang til styrk-
veitinga. Hún vekur athygli á því að
stærðfræði hafi sem fræðigrein
fengið minna fé aðrar greinar en
vegna mikilvægis hennar í öllum
náttúruvísindum verði að snúa því
við. Hún bendir á þátt stærðfræði í
upplýsingaflæði nútímans sem felst í
því að gera gögnin skiljanleg og sem
aftur er grundvöllur þess að skapa
þekkingu úr upplýsingum.
„Haldið áfram,“ sagði David
Blunkett menntamálaráðherra Eng-
lands þegar hann tilkynnti að fjár-
veiting yrði tryggð til þess að starfið
við Alþjóðlega stærðfræðiárið 2000
gæti haldið áfram í Englandi árið
2001. Vefur stærðfræðiársins fékk
verðlaun á BETT upplýsingatækni-
sýningunni í menntamálum sem
besti ókeypis námsgagnavefurinn í
Englandi.
Glenn-skýrslan svonefnda sem
lögð var fram í lok september 2000
eftir störf „National Commission on
Mathematics and Science Teaching
for the 21st Century“ bar heitið Be-
fore It’s Too Late. Í henni segir m.a.
„Í stuttu máli eru börn í bandarísku
þjóðfélagi að glata hæfninni til þess
að mæta þeim ögrandi viðfangsefn-
um sem þegar liggja fyrir við upphaf
21. aldarinnar að ekki sé talað um
þau sem koma í kjölfarið. Okkur er
að mistakast að fanga áhuga æsk-
unnar fyrir vísindum og stærð-
fræði.“
Í yfirlýsingu Freudenthal-stofn-
unarinnar í Hollandi, sem er ein af
virtari rannsóknastofnunum á sviði
stærðfræðimenntunar, segir: „Að
mati okkar eru kennarar mikilvæg-
ustu boðberar nýrra hugmynda um
breytingar varðandi stærðfræðinám.
Kennarar gera það kleift að stærð-
fræðimenntun nái þeim gæðum að
efla hæfni nemenda til að mæta kröf-
um nútíma þjóðfélags.“
Sænska ríkisstjórnin samþykkti í
lok desember 2000 sérstaka fjárveit-
ingu til þess að efla stærðfræði-
menntun. Einkasjóðir og fyrirtæki,
svo sem bankar, hafa einnig lagt
mikla fjármuni til ýmissa þátta þess-
arar uppbyggingar undanfarin þrjú
ár.
Það sem enginn biður um
Frumkvöðlastarf byggist á því að
gera það sem enginn hefur beðið um.
Í því reynir á að grandskoða svið og
greina möguleika en ekki síður á á
frumleika og áræði. Það er að vissu
leyti persónubundið en getur eins og
mörg dæmi sýna hér á landi lyft
grettistaki. Frumkvöðlastarf þarf
næringu og eftirtekt til þess að það
þróist enn frekar og fleiri komi að og
mikilvægt er að skapa gott umhverfi
fyrir slíkt starf eins og skilningur er
að vakna fyrir t.d. á sviði
upplýsingatækni.
Starfið vegna Alþjóð-
lega stærðfræðiársins
2000 hér á Íslandii var
dæmi um verk sem eng-
inn hérlendis bað neinn um eða fól að
annast. En þegar kallað var til sam-
starfs reyndist áhugi fyrir því og
margir hafa tengst starfinu. Mikil-
vægt er því að það starf stöðvist ekki
og ástæða til að taka undir með
menntamálaráðherra Englands í
þeim efnum. Vinnan við tryggja
stöðuga og áframhaldandi uppbygg-
ingu með þátttöku vaxandi fjölda
fólks og sífellt betra kynningarstarfi,
er mikilvægasta verkefnið sem við
stöndum frammi fyrir. Það gerir
kröfu um þekkingu og gerist ekki
með fjármagni einu saman en það
gerist heldur ekki án fjármagns og
stuðnings opinberra yfirvalda, at-
vinnulífs, kennara og foreldra. Þá
mun um muna fyrir okkur sjálf og
komandi kynslóðir.
Líf í tölum XI/ Sjónvarpsþættina Líf í tölum þarf að fá á myndbönd fyrir framhaldsskólanemendur
ásamt verkefnum og námskeiðum fyrir kennara. Anna Kristjánsdóttir, prófessor við KHÍ, ritar hér lok
greinarflokksins um stærðfræðikennslu, sem setur aðferðir og skilning nemenda í öndvegi.
Orðsins afl
og ímynd
hugans
Morgunblaðið/RAX
Stærðfræðin er alls staðar, einnig í frímínútum hér í Lækjarskóla í
Hafnarfirði. Markmið er að nemendur verði læsir á tölurnar í lífinu.
 Alþjóðlega stærðfræðiárið 2000
stendur enn í Englandi.
 Kennarar eru boðberar nýrra
hugmynda um stærðfræðinám.
Anna
Kristjánsdóttir
Sjónvarpið
kveikir áhuga
á stærðfræði
Frumkvöðull
gerir hið
nýja óbeðinn