Hugur - 01.01.1995, Side 47

HUGUR
Reikniverk og vitsmunir
45
Ég álít þessi rök ekki svo merkileg að það sé þörf á að hrekja þau.
Það er eðlilegra að bregðast við þeim með því reyna að hugga fólk og
kannski má sækja einhverja huggun í sálnaflakk.
Stœrðfrœðilegu andmœlin
Það má nota ýmsar niðurstöður rannsókna í stærðfræðilegri rökfræði
til þess að sýna fram á að stakrænum vélum eru takmörk sett. Af
þessum niðurstöðum er setning Gödels (1931) einna frægust. Hún
segir að í öllum rökfræðilegum kerfum, sem eru nægilega öflug, sé
hægt að orða fullyrðingar sem verða hvorki sannaðar né hraktar innan
kerfisins, nema kerfið sé sjálfu sér ósamkvæmt. Church (1936),
Kleene (1935), Rosser og Turing (1937) hafa allir komist að
niðurstöðum sem eru að ýmsu leyti svipaðar. Það er þægilegast að
líta á niðurstöðu þess síðastnefnda því hún fjallar beinlínis um vélar,
en niðurstöður hinna er aðeins hægt að nota með fremur óbeinum
hætti hér. Ef við ætlum til dæmis að nota setningu Gödels, þá
verðum við að bæta við hana einhverjum aðferðum til að lýsa
rökkerfum sem vélum og vélum sem rökkerfum. Sú niðurstaða sem
hér um ræðir fjallar um vélar sem eru í eðli sínu ekkert annað en
stafrænar tölvur með óendanlega stórri geymslu. Hún kveður á um
vissa hluti sem þessar vélar geta ekki gert. Séu þær dubbaðar upp í
að sitja fyrir svörum, eins og í hermileiknum, þá er hægt að leggja
fyrir þær spurningar sem þær munu annað hvort svara rangt eða alls
ekki, sama hvað þeim er gefinn langur tími. Það geta að sjálfsögðu
verið til margar svona spurningar og þær sem ein vél ræður ekki við
þeim getur önnur kannski svarað. Hér er um að ræða spurningar sem
hægt er að svara með ,Já“ eða „Nei“ fremur en spurningar á borð við
„Hvað fínnst þér um Picasso?“ Þessar spurningar sem við vitum að
vélamar geta ekki svarað eru á forminu „Hugsaðu þér vél sem lýsa má
á eftirfarandi hátt ... Mun þessi vél nokkurn tíma gefa svarið "Já"
þegar einhver spurning er lögð fyrir hana?“ í stað punktanna á að
koma lýsing á stöðluðu formi sem gæti verið eitthvað lfk lýsingunni
í §5. Ef vélin sem lýst er hefur ákveðin, tiltölulega einföld, vensl við
vélina sem situr fyrir svörum, þá má sýna fram á að annað hvort
hlýtur hún að gefa rangt svar eða ekkert. Þetta er hin stærðfræðilega
niðurstaða og því er haldið fram að hún sanni að vélar séu háðar
takmörkunum sem mannshugurinn er laus við.