Morgunblaðið - 07.04.1988, Page 40

40
MORGUNBLAÐIÐ, FTMMTUDAGUR 7. APRÍL 1988
Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema veturirm
1987-1988:
Lausnir dæma
í úrslitakeppni
1. Sýnið að
I I I > 9
a+b+c~a+b+c
fyrir allar jákvæðar rauntölur a, b og c.
Lausn: Jafngilt er að sýna að 9 < (a + b + c)(j+ -g+ ^) = 3 + ^ + C-^ + ^
En hver af þremur liðunum síðustu er af gerðinni x + , þar sem x er jákvæð rauntala, svo að
það nægir að sýna að x + ^ > 2 fyrir x > 0. En það jafngildir x2 + 1 2 2x eða x2 - 2x + 1 > 0,
sem er augljóst vegna x2- 2x + 1 = (x- l)2.
2. Sjö piltar og sjö stúlkur eru saman á dansleik. Að honum loknum segja þau hversu marga
dansa þau hafa dansað hvert um sig. Tölumar sem þau nefna eru
6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 5, 3, 3, 3, 3, 3.
Sýnið að þessar tölur geta ekki allar staðist ef gerter ráð fyrir að piltar dansi einungis við stúlkur
og stúlkur dansi einungis við pilta.
Lausn: Samanlagður fjöldi dansa sem stúlkurnar dansa hlýtur að vera jafn samanlögðum fjölda
dansa sem piltamir dansa. Ef tölumar em allar réttar, þá hlýtur að mega skipta þeim í tvo flokka
þannig að summa talnanna í hvorum flokki sé hin sama. Skiptum nú tölunum í tvo flokka og
köllum flokkinn sem talan 5 lendir í A og hinn flokkinn B. Allar tölurnar nema 5 em margfeldi af
3. Summa talnanna í flokki A er því 5 plús margfeldi af 3 og því ekki margfeldi af 3, en summa
talnanna í flokki B er margfeldi af 3. Summumar geta því ekki verið jafnar.
3. Látum p vera fmmtölu (prímtölu) sem er stærri en 3. Sýnið að talan 24 gengur upp í p2 - 1.
Lausn: Skrifum p2 - 1 = (p+ l)(p- 1). Tölumar p- l,p,p+ 1 em samliggjandi, svo að talan
3 gengur upp f einhverri þeirra; en p er fmmtala stærri en 3 og því ekki margfeldi af 3, svo að
talan 3 gengur upp í annarri hvorri talnanna p - 1 eða p + 1 og því upp í margfeldi þeirra p2 - 1.
Einnig er p oddatala, svo að p - 1 og p + 1 eru jafnar tölur sem hafa mismun 2. Því hlýtur talan 4
að ganga upp í annarri þeirra, en talan 2 upp í hinni. Þar með gengur talan 8 = 2-4 upp í
margfeldinu p2 - 1. Þar sem tölumar 3 og 8 ganga báðar upp í p2 - 1 hlýtur margfeldið 24 = 3-8
að gera það lfka.
4. Látum a3 - b3 = p og ab = q. Finnið jöfnu af þriðja stigi sem hefur töluna x = a - b sem lausn
og stuðla sem má setja fram með hjálp talnanna p og q einna saman. Sýnið með því að nota
þessa jöfnu að
3 >>____1 3 ________
Vio + jlöi- V- ío + V1M= 2.
Lausn: Látum a3 - b3 = p og at> = q, setjum x = a - b. Nú er p = a3 - b3 = (a - 5)(a2 + ab + b2)
= (a - b)((a - b)2 + 3ab) = x(x2 + 3q) = x3 + 3qx. Við sjáum því að talan x er lausn þriðja stigs
jöfnunnar x3 + 3 qx - p = 0.
Setjum nú a = VlO + V108 og b = V- 10 + V 108 . Þá er p = a3- b3 = T0 + V 108 +
10 - VTÖfT = 20 og q = ab = V(VIÖ8 + 10)(ýTÖ8 - 10)_= ^108-100 = ^8 = 2. Talan x =
a-ber því lausn jöfnunnar x3 + 6x - 20 = 0. Þessi jafna hefur lausnina x = 2, og við getum
skrifað x3 + 6x - 20 = (x - 2)(x2 + 2x + 10). Því er annaðhvort x = 2 eða x er lausn jöfnunnar
x2 + 2x + 10 = 0. En nú er ljóst að x er rauntala og jafnan x2 + 2x + 10 = 0 hefur enga
rauntölulausn, því að x2 + 2x + 10 = (x + l)2 + 9 > 0 fyrir allar rauntölur x. Þar með er x =-2.
5. Sýnið að jafnan
x6 - x5 + x4 - x3 + x2 - x + ^- = 0
hefur engar rauntölulausnir.
Lausn: Ljóst er að x6 - x5 + x4 - x3 + x2 - x = x5(x - 1) + x3(x - 1) + x(x - 1) 1> 0 ef x > 1
eðaxSO. Viðþurfumþví aðeins að athugaxþannig að0 <x< 1. En nú er
x6 - x5 + x4 - x3 + x2 - x +1= (-x)6 + (—x)5 + (—x)4 + ( x)3 + ( x)2 + (-x)1 + (-x)°
1 + x7
“ 1 + X ’
og fyrir 0<x<lerl+x7>logl+x<2og því-^ + *■■> j. Því er
x6 - x5 + x4 - x3 + x2 - x + j= ■ | *— J> ^>0
fyrir0<x< 1.
6. Gefinn er rétthymingur ABCD ásamt punkti X á hliðinni BC og punkti Y á hliðinni CD
þannig að þríhymingurinn AXY sé jafnhliða. Sýnið að flatarmál þríhymingsins XYC er jafnt
samanlögðu flatarmáli þríhyminganna ABX og ADY.
Ábending: Látum a = ZBAX og t = IAA1. Skrifið flatarmál hvers þríhymings sem fall af a og t.
Lausn: Ef a = ZBAX , þá er ZCXY = 30° + a og
ZDA Y = 30° - a. Þar með er
IABI = ícosa, IBX = tsina,
ICXl = tcos(30° +a), ICYI = f sin(30° + a),
IADI = ícos(30°- a), IDYI = tsin(30°- a).
1 í2 f2
Þar með er flatarmál þríhymingsins ABXjafnt ^iABWBX = ^cosasina = ^-sin2a, flatarmál
1 t2 t2
þríhymingsins ADY er jafnt jlADIDYl = -jcos(30° - a)sin(30° - a) = ^-sin(60° - 2a), og
flatarmál þríhymingsins CXYer jafnt j ICXIICYI =-jcos(30° + a)sin(30° + a) = jsin(60° + 2a).
Því þarf að sýna að
(*) sin(60° + 2 a) = sin2a + sin(60° - 2a).
En sin(60° + 2a) = sin60°cos2a + cos60°sin2a,. sin(60° - 2a) = sin60°cos2a - cos60°sin2a, og
cos60° = 1/2, svo að jafnan (*) er augljóslega rétt.
Breiðavík:
Guðni Gunnarsson skólaprestur stjórnaði samkomunni á skírdagskvöld. Morgunblaðið/Pétur Þorsteinsson
Vormót Kristilegra skólasamtaka
AÐ VENJU var Vorskolamot
Kristilegra skólasamtaka haldið
í Vatnaskógi yfir bænadagana,
þ.e. frá miðvikudeginum 30.
mars til laugardagsins 2. apríl.
»-»Yfir 120 ungmenni sóttu mótið
ásamt leiðtogum og umsjónarmönn-
um. Yfirskrift mótsins var „Jesús,
hér er ég — send mig“. Ræðumenn
voru Þórunn Elídóttir æskulýðs-
fulltrúi, sem fjallaði um efnið
„Kristur kallar — komið til mín“,
Guðlaugur Gunnarsson kristniboði
fjallaði um efnið „Jesús, hér er ég
— send mig“ og Skúli Svavarsson
kristniboði með efnið „Farið fyrir
mig — ég er með þér“.
A skírdagskvöld var kvöldvaka í
umsjá Helga Gíslasonar starfs-
manns Kristilegu skólahreyfingar-
innar og að henni lokinni altaris-
ganga. Nokkrir föstuðu frá
skírdagskvöldi fram á föstudags-
kvöldið, sem er frekar óvenjulegt.
Á kvöldin, eftir að dagskrá lauk var
„Rabbabaraloft", þar sem krakk-
amir komu saman og rabbað var
saman um hin margvíslegustu mál,
sem snerta trúna og það sem við-
kemur henni.
Kristileg skólasamtök, KSS, eru
með fundi á Amtmannsstíg 2b í
Reykjavík á laugardagskvöldum kl.
20.30. Hefur þeim fjölgað, sem sótt
hafa fundið á vormisserinu eftir
nokkurt boðunarátak, sem gert var
í janúar og febrúar sl. Sækja um
80—100 manns fundi núna að með-
altali, en var komið um sl. áramót
niður í 40—60 manns á fundum,
svo starfað er af meiri þrótti núna
á vormisserinu og afraksturinn sést
m.a. á þessu Vorskólamóti.
- pþ
Af li tregur í net
en góður á færi
Laugarbrekku, Breiðuvík.
AFLI hefur verið mjög- tregur í
net hjá bátum sem róið hafa frá
Arnarstapa þó gæftir hafi verið
sæmilegar. Lítið hefur boríð á
sjúkdómum i búfé bænda það sem
af er vetri. Þorrablót var haldið
í félagsheimilinu á Lýsuhóli í Stað-
arsveit 20. febrúar.
Um mánaðamótin febrúar og mars
byijuðu 5 bátar að róa með net frá
Amarstapa, 3 þilfarsbátar og 2 trill-
ur. Trillumar komu frá Hafnarfirði
þann 1. mars. Þær eru um 6 tonn
en hinir þrír eru 9 til 15 tonn. Afli
hefur verið tregur í netin en þó treg-
astur nú síðustu vikur en sjómenn
em að vona að afli glæðist nú eftir
fískveiðibannið sem stóð fram yfir
páska. Ein trilla, heimabátur, hefur
hafið róðra með færi og fengið mjög
góðan afla. Hún hefur farið 7 róðra
og fengið á sjöunda tonn alls og
mestan aflan hefur hún fengið hér
uppi í landsteinum, stundum svo
grunnt að hún var í kallfæri úr landi.
Einn maður rær á bátnum, Pétur
Pétursson frá Malarrifi.
Eins og getið hefur verið um áður
var afli á línu mjög góður. Stapatind-
ur, sem er 14 tonna bátur frá Arnar-
stapa byijaði með lfnu snemma í jan-
úar og var með línu fram í lok febrú-
ar fékk rúm 100 tonn af þorski.
Formaður á bátnum er Stefán
Bjamason.
Lítið hefur verið um sjúkdóma í
búfé bænda það sem af er vetri,
aðeins orðið vart við votkeisveiki, en
miklu miilna en í fyrravetur. Nokkr-
ir bændur eru búnir að klippa féð
og er það aðallega veturgamalt fé
og gemlingar sem klippt er.
Þann 20. febrúar héldu Breiðvík-
ingar þorrablót í félagsheimilinu á
Lýsuhóli í Staðarsveit. Þar komu
saman Staðarsveitungar og
Breiðvíkingar eins og áður. Fjöl-
menni var mikið, skemmtiatriði voru
heimatilbúin, eins og alltaf hefur
verið á þorrablótum. Byijað var á
að borða góðan og fjölbreyttan þorra-
mat, þar á eftir voru skemmtiatriðin
og síðast var dansað. Fólkið skeriimti
sér vel langt fram á nótt. Gerður var
góður rómur að skemmtuninni.
F.G.L.
Skáldsagna-
keppni Stór-
stúku Islands
I TILEFNI af 90 ára afmæli Æsk-
unnar efnir Stórstúka íslands til
skáldsagnakeppni.
Verðlaun verða 200.000 krónur
að viðbættum venjulegum ritlaunum.
Handritum skal skila á skrifstofu
Stórstúku íslands, Eiríksgötu 5, 101
Reykjavík, merktum dulnefni, fyrir
1. júní næstkomandi.
Áskilinn er réttur til að taka hvaða
handriti sem er, eða hafna öllum, ef
dómnefnd telur ekkert handrit verð-
launahæft.
(Fréttatilkynning)