Morgunblaðið - 18.11.2000, Blaðsíða 42

s
Vísindavefur Háskóla Islands
Er fullt tungl á sama tíma um
allan heim?
Er hægl að segja að talan 0 sé
eining, öllu heldur sem eitt-
hvað, jafnvel áþreifanlegt?
VISINDI
I Undanfarna viku hafa birst svör á Vísindavefn-
' um um aldur Sfinxins, heilagan Valentínus,
tölugildið af x, hraðsyndasta spendýrið, Kreutzer-sónötuna, líftíma
mýflugna, signingar, krossinn sem tákn kristni, aldur Jesú, fjölda
kristinna, kristnitökuna, fullt tungl, húðflúr, bandarísku for-
setakosningarnar, líf á öðrum hnöttum, fjölda
sjálfstæðra ríkja í heiminum, virkjun fjarða og
víka, færslu á segulpólum jarðar, fund Danmerk-
ur, rötun fugla, spretthraða hýenunnar, banda-
ríska skólakerfið, blóðflokkakerfið, elftingu,
gömlu mánaðanöfnin og síðasta gos á íó. Vís-
indavefinn er að finna á http://www.visindavef-
ur.hi.is.
Er hægt að segja að talan 0
sé eining, öllu heldur sem
eitthvað, jafnvel áþreifan-
legt?
SVAR: Elstu menningarþjóðimar,
Fom-Egyptar, Majar, Kínverjar og
Súmerar, virðast hafa haft hugtakið
„núll“ en sérstakt tákn var þó ekki
notað fyrir það nema stundum til að
gefa til kynna eyðu á milli annarra
tölustafa. Fyrsta notkun á tölustafn-
um „0“ (það er samsvarandi tákni) á
sama hátt og hann er notaður í dag
kemur sennilega fram hjá arabíska
stærðfræðingnum Múhammeð ibn
Músa al-Kúarismí (uppi um 780-850)
en orðið „algóriþmi“ er reyndar
dregið af nafni hans. Þessi notkun á
0-tölustafnum og öðmm arabískum
tölustöfum breiddist síðan um
Evrópu á 10. öld.
Þetta var smá forspjall um notkun
tölustafsins „0“. En við megum ekki
mgla tölustafnum saman við töluna
sjálfa sem spurt er um. Hvað em töl-
ur? Þetta er spurning sem ýmsir
heimspekingar hafa glímt við, allt
frá dögum Platons og Pýþagórasar.
Pýþagóras (uppi um 532 íyrir Krist),
sem varð fyrir áhrifum frá trúar-
brögðum Fom-Egypta, taldi tölur
Lengi vel voru engar heildstæð-
ar kenningar settar fram um
það hvað tölur eru.
liggja til gmndvallar öllu í heimin-
um. Aristóteles segir um hann:
„Pýþagóringar vom hinir fyrstu sem
hugsuðu alvarlega um stærðfræði og
þróuðu hana. Vegna þekkingar sinn-
ar á þessum vísindum komust þeir á
þá skoðun, að grandvöllur stærð-
fræðinnar sé líka gmndvöllur alls
sem er“. Tölumar em sem sagt
heillandi viðfangsefni og samgrónar
allri mannlegri hugsun.
Lengi vel vom þó engar heild-
stæðar kenningar settar fram um
það hvað tölur em. Það var ekki fyrr
en á 19. öld, að þýski heimspeking-
Tunglið sést sem bjartur hringflötur frá þeirri hlið jarðarinnar þar sem
er nótt því að sú hlið snýr frá sólu og að tungli.
urinn Gottlob Frege (1848-1925)
setti fram þá kenningu, að tölur séu
ekkert annað en mengi af ákveðnu
tagi. Hann komst að þeirri niður-
stöðu, að þegar við segjum til dæmis
að Norðurlöndin séu fimm, þá emm
við ekki að segja neitt um Norður-
löndin hvert íyrir sig, heldur um
annan hlut, nefnilega mengi Norður-
landanna: við emm að segja að þetta
mengi hafi ákveðinn fjölda staka. En
hvaða fjölda staka? Auðvitað 5! En
emm við þá ekki að nota töluhugtak-
ið aftur?
Til að komast hjá þessum vanda
notfærði Frege sér hugtakið „gagn-
tæk vörpun" (á ensku one to one
correspondence). Sagt er að til sé
gagntæk vörpun á milli tveggja
mengja, M og N, ef til sérhvers
staks í M svarar nákvæmlega eitt
stak í N, og þetta stak í N er ekki
svömn neins annars staks í M og öf-
ugt. Þegar gagntæk vörpun er til á
milli M og N er sagt að þau hafi jafn-
mörg stök eða hafi sömu fjöldatölu.
Þannig er til gagntæk vörpun á milli
mengis fingra vinstri handar og
mengis fingra hægri handar, þar
sem bæði hafa fimm stök, fjöldatöl-
una fimm.
Ef við tökum nú öll mengi sem
hafa fimm stök, það er öll mengi sem
unnt er að setja í gagntæka svömn
t.d. við mengið {Island, Danmörk,
Noregur, Svíþjóð, Finnland},
mynda þau eitt stórt mengi, nefni-
lega mengi allra þeirra mengja sem
em í gagntækri svöran við framan-
greint mengi, það er mengi allra
þeirra mengja sem hafa fimm stök.
Þetta stóra mengi segir Frege vera
töluna fimm og hann skilgreindi all-
ar náttúmlegar tölur, þ.e. 0,1,2,3,
4,..., á hliðstæðan hátt sem mengi
mengja. Skv. þessu er talan 0 mengi
allra þeirra mengja sem hafa ekkert
stak. Reyndar er aðeins til eitt
mengi sem hefur ekkert stak, nefni-
lega tómamengið, sem er oft táknað
með 0, þannig að 0 er skilgreint sem
mengið sem hefur tómamengið sem
eina stakið, sem mengið {0}.
Nú em mengi sértækir (abstrakt)
hlutir, það er þau em ekki áþreifan-
leg, eitthvað sem við getum séð eða
skynjað í raunheiminum, heldur
sköpuð af mannshuganum, hugtök
sem við notum til að skipuleggja og
skilja veruleikann, og því væri skv.
kenningu Freges talan 0 ekki áþreif-
anleg. En þar með er ekki sagt að
hún sé ekki „eitthvað", Frege var
einmitt mjög í mun að sýna að tölur
séu „hlutir". En hlutir geta að sjálf-
sögðu verið óefniskenndir, eitthvað
getur auðvitað verið hlutur án þess
að við getum þreifað á því.
Það sem átt er við með því að
segja að eitthvað sé hlutur er eink-
um tvennt: a) unnt verður að vera að
segja hvort það sé samt einhverju
öðra eða ekki, og b) það verður að
vera unnt að nota orð sem vísar til
þess, til dæmis N, og segja eitthvað
um hlutinn, það er setja fram full-
yrðingar á forminu „N er....“. Þetta
gildir einmitt um 0 (hér er ég að tala
um hlutinn 0, ekki tölustafinn „0“):
ég get til dæmis sagt „0 er ekki sama
tala og 1“, og „0 er minni en 2“. Því
era náttúralegar tölur hlutir, það er
sértækir hlutir, samkvæmt Frege.
Síðari tíma heimspekingar hafa
sett fram aðrar kenningar um tölur
en Frege en þær taka flestar mið af
kenningum hans og viðurkenna, að
hann hafi hitt naglann á höfuðið, að
minnsta kosti í grandvallaratriðum,
varðandi eðli talna.
Erlendur Jónsson
prófessor í heimspeki við HI.
\
ICELANDAIR HÓTELS
Góðar stundir
Hótel Flúðir er glæsilegt hótel ífallegu og rólegu umhverfi.
Frábær kosturfyrir einstaklinga og hópa allan ársins hring.
Upplýsingar og pantanír í síma 486 6630
Maestro
ÞITT FE
HVARSEM
ÞÚ ERT
SVAR: Fullt tungl verður þegar
jörðin er á milli sólarinnar og
tunglsins. Þá er sú hlið tunglsins
sem snýr að jörðinni öll upplýst og
tunglið sést sem bjartur hringflötur
frá þeirri hlið jarðarinnar þar sem
er nótt því að sú hlið snýr frá sólu
og að tungli.
Jörðin snýst einn hring um sjálfa
sig á tuttugu og fjómm klukku-
stundum. A þeim tíma sést tunglið
frá öllum stöðum á jörðinni. Þar
sem tunglið fer einn hring um jörð-
ina á 29,53 dögum er sú hreyfing
mun hægari og því má segja að
sama fulla tunglið sjáist alls staðar
frá. Aftur á móti sést tunglið auð-
vitað ekki frá öllum stöðum á jörð-
inni í einu.
Nú gæti maður haldið að jörðin
skyggði á tunglið þegar hún er milli
sólarinnar og tunglsins. Þetta kem-
ur vissulega fyrir og nefnist það þá
tunglmyrkvi. En oftast sjáum við
fullt tungl. Þetta er vegna þess að
braut tunglsins um jörðina hallar um
5° miðað við braut jarðar um sólu.
Þetta er nóg til þess að tunglið er
oftast aðeins fyrir ofan eða neðan
jörðina séð frá sólu og hún nær því
yfirleitt að lýsa upp þá hlið sem að
henni snýr.
í skilningi stjörnufræðinnar er
tunglið fullt nákvæmlega þegar sól,
jörð og tungl mynda beina línu, og
má finna þessa tímasetningu til
dæmis í Almanaki Háskóla íslands,
miðað við staðartíma hér hjá okkur.
Staðartíminn er hins vegar annar í
öðmm tímabeltum.
Allar götur síðan á dögum Forn-
Grikkja hafa menn getað mælt stað-
artíma tunglmyrkva. Mismunm- á
honum milli staða fyrir sama myrkv-
ann gefur til kynna muninn á land-
fræðilegri lengd staðanna en hana
var annars lengi vel erfitt að
ákvarða.
Þegar Kólumbus fór til Ameríku
hélt hann að hann væri kominn til
Asíu, það er að segja Kína eða Jap-
an. Nokkrum áratugum síðar vom
gerðar mælingar á staðartíma tungl-
myrkva í Ameríku og þar með vom
færðar endanlegar sönnur á að
menn væm staddir í heimsálfu sem
áður var sem næst óþekkt.
Þorsteinn Vilhjálmsson, prófess-
or í vísindasögu og eðlisfræðj,
ritstjóri Vísindavefjarins og Og-
mundur Jónsson heimspekinemi
og starfsmaður Vísindavefjarins.
Hvaða áhrif hefur það á lífið
á jörðinni ef ósonlagið
hverfur?
SVAR: Ósonið í ósonlaginu gleyp-
ir í sig skaðlega útfjólubláa geislun
af flokki B, með bylgjulengd 200-
300 nm, og hindrar þar með að hún
komist að yfirborði jarðar (1 nm
eða 1 nanómetri er milljarðasti
partur úr metra). Þessi geislun hef-
ur styttri bylgjulengd en sýnilegt
ljós og hver ljóseind er að sama
skapi orkumeiri. Ef ósonlagið hyrfi
kæmist þessi útfjólubláa geislun
óhindrað til jarðarinnar. Þá myndu
efni sem þar fyrirfinnast, þar með
talin efni sem lífheimurinn er sam-
settur úr, gleypa viðkomandi geisl-
un.
Við það að efni gleypa útfjólubláa
ljósgeislun yfirfærist orkan á sam-
eindir efnisins sem getur orðið þess
valdandi að sameindirnar umbreyt-
ist með ýmsum hætti og eiginleikar
efnisins breytist. Slík röskun á efni
lífheimsins getur haft ýmsar al-
varlegar afleiðingai'. Vitað er að um-
rædd útfjólublá geislun getur til
dæmis valdið skaða á sameindum í
erfðaefni fmmna (DNA) í og við yf-
irborð eða húð í kjölfar geislagleyp-
ingarinnar. Afleiðing þess getur
meðal annars orðið myndun húð-
krabba sem á sér stað þegar fmmur
með skaddaðar DNA-sameindir ná
að fjölga sér meira en heilbrigðar
framur (æxlismyndun). Vitað er um
ýmis önnur skaðleg áhrif B-
geislunar á mannslíkamann, svo sem
myndun augnsjúkdóma á borð við
starblindu (á ensku „cataracts,,) og
ónæmisbælingu (á ensku „immuno-
suppression").
Agúst Kvaran
prófessor í efnafræði við HI.