Morgunblaðið - 10.02.2001, Qupperneq 47

þegar hugsað er um tölur, þar sem
mál eru oft afstæð, betrumbætti ég
spurninguna á ýmsan hátt, svo sem:

Hvað er stjórnmálamaður lengi
að segja milljón orð á kosningafundi?

Hvað líður langur tími frá því
augnabliki sem þú lest þetta þar til
fæddir eru milljón nýir heimsborg-
arar, miðað við óbreytta fæðingar-
tíðni?

Hvað taka milljón blaðsíður
mikið pláss í bókasöfnum almenn-
ingsbókasafna?

Hvað ertu lengi að ganga millj-
ón sentímetra?

Eru milljón hár á höfði þínu?
Með þessu reyni ég að segja að töl-
ur séu ekki bara til að reikna með
óháð öllu samhengi, heldur til að
bera skynbragð glöggt skynbragð á
ef vel á að vera. Í kennslustundum
skiptir því máli að meðhöndla tölur á
margan hátt. Að skoða af glögg-
skyggni, hugsa, álykta og rökræða
er ekki síður mikilvægir þættir varð-
andi reikning en að kunna leiðir til að
leysa ákveðnar dæmagerðir og að
vera leikinn í því.
Gildi kennslustunda,
dæmi frá Japan
„Hvað sjáið þið þegar þið horfið á
myndina af þessum fimm punktum
(punktunum var raðað eins og á hlið
tenings)?“ Þetta var fyrsta spurning
kennarans, Kurosawa Sensei, til 33ja
nemenda sinna þegar hann byrjaði
kennslustund um stærðfræðihugtak-
ið fall, (sem segja má í mjög fáum
orðum að fjalli um tengsl breyti-
stærða sem margar hverjar eru hluti
af daglegu lífi okkar eins og tími,
laun, hraði, kostnaður o.fl.).
„Ég sé bilið milli punktanna“ svar-
aði einn nemenda. „Ég sé möguleika
á að draga línur milli punktanna og
búa til ferning með einum punkti
innan í“ svaraði annar nemandi.
Kennarinn hélt áfram. „Og ef við
höldum áfram með þetta mynstur og
teiknum fjóra punkta til viðbótar
lengra frá miðjunni, hverju líkist það
þá? Hvað minnir það ykkur á?“
„Það minnir mig á sammiðja
hringi, eins og þegar dropi fellur á
tjörn“ sagði einn nemendanna. „Mér
finnst það minna mig á hvernig veira
dreifir sér“ svaraði annar þeirra.
Kennarinn valdi nemandann sem
nefndi samlíkinguna við hegðan
veira til þess að halda áfram og bauð
nemendum að búa til þraut út frá því.
„Hvað ef við höldum þessu mynstri
áfram fimm eða sex skipti til viðbót-
ar, hve margir verða punktarnir þá?“
stakk einn nemendanna upp
á. „Of auðvelt,“ svaraði
kennarinn. „Hve margir
verða þeir ef veiran heldur
áfram 48 sinnum? Getum við
öll sameinast um þá spurn-
ingu?“ Nemendurnir kink-
uðu kolli og byrjuðu hver og
einn að leita að lausn á
þrautinni.
Markmið kennarans með
þessari kennslustund var að nem-
endur fyndu tvær breytur og sæju
hvernig þær væru venslaðar til þess
að „þróa smám saman hugsun nem-
enda um fallhugtakið“. Eftir fimm
mínútna þögla og hnitmiðaða vinnu
nemenda kallaði kennarinn eftir
sjálfboðaliðum til að leyfa hinum að
heyra hvernig þeir hefðu leyst verk-
efnið. „Eitt hundrað áttatíu og níu“
var svar þriggja nemenda. „Eitt
hundrað níutíu og þrír,“ var niður-
staða hinna nemendanna. Umræða
fylgdi á eftir hverju svari og útskýr-
ingar. Nemendur skoðuðu saman
lausnir án gagnrýni á þær. Eftir tíu
mínútna umræður voru allir sam-
mála um að 193 væri rétt lausn.
Bekkurinn hélt nú áfram með um-
ræður um það hvernig væri hægt að
skrifa jöfnu fyrir þrautina. Þar sem
tíminn var að renna út spurði kenn-
arinn: „Hvaða jöfnu getum við skrif-
að sem er þannig að við getum leyst
þrautina fyrir hvaða fjölda sem er?“
Einn nemandinn stakk upp á „1 +
4n, 4 í þessu tilviki.“ Kennarinn greip
það á lofti og sagði, „Já, já. Takið
endilega eftir því að hún sagði 4 í
þessu tilviki. Hvað með önnur tilvik?
Þar skulum við byrja að skoða næst.“
Að vekja forvitni nemanda
Áhorfendur að þessari kennslu-
stund voru um 40 útlendingar og 30
japanskir kennarar sem þátt tóku í
ICME-9 ráðstefnunni. Eftir
kennslustundina sýndu japönsku
kennararnir hvernig þeir fram-
kvæma það sem þeir kalla „grand-
skoðun á kennslustund“. Þeir fóru
saman gegnum hvað hefði gengið vel
og hvað hefði getað bætt kennslu-
stundina enn frekar. Kurosawa Sen-
sei er þaulreyndur kennari og vanur
að vera með sýnikennslu en virtist
engu að síður eiga gott með að hlusta
rólega á viðbrögð hinna kennaranna.
„Ég vildi að nemendur yrðu forvitnir
og settu fram eigin spurningar.
Hugsun um föll getur aðeins þróast
ef eitthvað er óþekkt og löngun fyrir
hendi til að finna það,“ skýrði hann
út. „Það er betra að gera nemendur
forvitna en að stökkva rakleitt yfir í
reglur og æfingar á þeim.“
Í fyrstu greininni (6. janúar)
minntist ég á hve lítill munur er á
lýsingum fólks hér á landi af
kennslustundum í stærðfræði þótt
ég þekki reyndar mörg frábrugðin
tilvik sem ekki falla að því sem al-
mennt er í huga fólks. Í myndbands-
upptökum í Bandaríkjunum, Þýska-
landi og Japan, sem sagt var frá í
síðustu grein, varð til efniviður sem
sýndi að innan þessara landa hvers
um sig voru sterk sameiginleg ein-
kenni og þrátt fyrir það að menn
hefðu talið að um verulega fjöl-
breytni væri að ræða í fyrstnefndu
löndunum, reyndist svo ekki vera í
því sem vegur þungt.
Einkenni bandarískra
kennslustunda
Vegna umfangs sleppi ég lýsingu á
megineinkennum þýskra kennslu-
stunda en minni á að árangur Þýska-
lands í TIMSS var mun líkari ár-
angri Bandaríkjanna en Japan og
bandarískir nemendur náðu ekki
góðum árangri. Bandarísk kennslu-
stund í stærðfræði einkennist af fjór-
um þáttum. Yfirferð heimavinnu er
fyrst og stundum einnig eitthvert
áhugavert verkefni til að „hita upp“.
Næsti þáttur er fólginn í því að kenn-
arinn sýnir hvernig leysa eigi verk-
efnin sem nemendur eiga að fást við í
tímanum.
Annaðhvort kynnir hann nýtt efni
eða rifjar upp eldra efni og dregur
oft nemendur inn í frásögn sína og
skýringar með stuttum spurningum.
Þriðji þáttur er þjálfun eða æfing þar
sem nemendur fást við hliðstæð eða
eins verkefni og sýnt var. Þessi vinna
er venjulega fyrir einstaklinga en þó
eru dæmi um að nemendur beri sam-
an lausnir sínar eða hjálpi hver öðr-
um. Er lok nálgast kemur svo fjórði
þátturinn sem felst í því að farið er
yfir einhver dæmanna og e.t.v. bætt
við dæmum. Fleiri æfingadæmi eru
sett fyrir sem heimavinna og stund-
um er séð til þess að nemendur geti
byrjað á henni áður en tíma lýkur.
Einkenni japanskra
kennslustunda
Japönsk kenslustund einkennist
af fimm þáttum. Upprifjun á því sem
gert var í síðustu kennslustund er
fyrst. Kennari annast hana með inn-
gangi sínum eða hann leiðir umræð-
ur nemenda sem rifja upp meginat-
riðin. Iðulega er kennslustundin sem
er að byrja í beinum tengslum eða
framhaldi við síðustu stund t.d. með
því að leiðir sem voru þróaðar daginn
áður eru nú notaðar.
Annar þáttur kennslustundarinn-
ar felst í því að kennarinn kynnir fyr-
ir nemendum þraut dagsins. Algeng-
ast er að það sé eitt viðfangsefni sem
tekur megnið af tímanum. Í þriðja
þætti vinna nemendur einir eða í
hópum. Þeir vinna sjaldan í hópum
fyrr en þeir eru búnir að vinna einir
við fyrstu athugun á þrautinni. Þessi
vinna getur tekið allt frá 5 til 20 mín-
útur. Fjórði þáttur er umræða um
lausnaraðferðir nemendanna. Oft
eru nokkrir nemendur beðnir um að
leyfa öllum að heyra hvernig þeir
fóru að. Stundum er kallað eftir sjálf-
boðaliðum en oftar velur kennarinn
þannig að fjölbreytni í leiðum nem-
endanna, sem hann hefur séð í vinnu
þeirra, kemur í ljós. Stundum bætir
kennari við fleiri leiðum sem þeir
hafa séð aðra nemendur finna eða
tekur úr eigin farteski ef sú leið get-
ur þróað vinnuna áfram. Kennarinn
dregur oft saman og ígrundar frekar
með bekknum það sem kemur fram í
lausnum og lausnaleiðum einstakra
nemenda. Fimmti þáttur japönsku
kenslustundanna er að draga saman
meginatriði og benda á þau. Stund-
um gerir kennari þetta reyndir um
miðja kennslustundina, allt eftir því
hvað efnið kallar á. Annar til fimmti
þáttur eru almennt endurteknir í
þeirri röð í sömu kennslustundinni
en sjaldan oftar en einu sinni og
þrautin sem þá er fengist við er þá
gjarnan keimlík hinni fyrri og ætlað
til að festa ferli í sessi.
Mismunurinn?
Það er erfitt að segja mikið í stuttu
máli en séu kennslustundirnar tvær
bornar saman og jafnframt rifjað
upp það sem skrifað var í síðustu
grein: „Til þess að sjá mun þarf að
greina vel samhengi hugmynda og
framkvæmdar, m.a. ferlið í kennslu-
stundinni, hjá hverjum ábyrgðin í
vinnunni liggur, hvernig komist er að
niðurstöðum, hvaða tengingar eiga
sér stað og hver leggur fram „nýja“
vitneskju og færir rök fyrir henni.“
má greina að ábyrgð nemenda og
leyfi til þess að skapa og skilja sjálfir
er allt önnur í japönsku kennslu-
stundunum en þeim bandarísku.
Það verður að bíða að skýra það
nánar og þá í tengslum við þá þróun
sem orðið hefur í íslenskum skólum
undanfarinn áratug og við eigum
vonandi möguleika á að hlúa betur
að.
Hvernig á að kenna stærðfræði? Með áherslu á reglur, með áherslu á
forvitni til að prófa hvaðeina til að finna niðurstöðu?
MENNTUN
MORGUNBLAÐIÐ LAUGARDAGUR 10. FEBRÚAR 2001 47
Bandaríski sjónvarps-
þátturinn Líf í tölum er
sýndur í Sjónvarpinu á
mánudagskvöldum. Í
honum geta áhorfendur
séð heim stærðfræðinnar
í nýju og myndrænu ljósi.
Í síðasta þætti var t.d.
leitað svara við spurning-
unni: Hvernig lítur al-
heimurinn út? Er hann
kúla eins og jörðin eða
er hann e.t.v. bogadreg-
inn?
Einnig var spurt:
Hvernig stendur á því að
ef maður leggur af stað
frá einum punkti og
gengur alheiminn á enda,
að hann endi á þeim stað
sem hann lagði upp frá?
Sjónvarpsþátturinn

Eru milljón hár á höfði
þínu?

Hvað líður langur tími
frá því augnabliki sem
þú lest þetta þar til
fæddir eru milljón nýir
heimsborgarar, miðað
við óbreytta fæðing-
artíðni?
Tímagátur