Hugur - 01.01.1996, Side 61

Kosningar
59
Þótt hann segi þetta í hálfkæringi er það umhugsunarefni hvort
setning hans sé ekki einmitt rök fyrir yfirburðum tveggja flokka
kerfis.
*
Hin einfaldari sönnun Arrows hefst á því að hann sýnir fram á að um
sérhvem hóp, H, sem uppfyllir skilyrði 2 og 4 gildir að ef gera þarf
upp á milli tveggja kosta, x og y, þá er til einhver undirhópur eða
partur af H sem ræður úrslitum um hvort x er tekið fram yfir y.
Köllum þennan undirhóp U.
Að U ráði úrslitum þýðir að ef allir meðlimir U taka x fram yfir y
og engir aðrir í H taka x fram yftr y þá velur H x fremur en y.
Ef afl atkvæða er látið ráða og öll atkvæði hafa sama vægi þá dugar
að meðlimir U séu meira en helmingur meðlima H. Sé U aðeins einn
maður þá er hann einvaldur og ákvörðun hópsins gerræðisleg.
Lítum nú á einhveija tvo kosti x og y og veljum hóp U sem ráðið
getur úrslitum um hvort x er tekið fram yfir y og stillum svo til að
enginn hópur sem er fámennari en U geti ráðið úrslitum. (Hafi öll
atkvæði sama vægi mætti ætla að fjöldinn í U sé einum meira en
helmingur H ef fjöldinn í H er slétt tala og hálfum meira ef fjöldinn í
H er oddatala.) Tökum nú einn mann út úr U og köllum hann N.N.
Nú höfum við skipt öllum meðlimum H í þrennt:
í 1. flokki er aðeins einn maður, nefnilega N.N.
í 2. flokki eru allir hinir í U, þ.e. allir meðlimir U nema N.N.
í 3. flokki eru allir meðlimir H sem ekki eru í U.
Lítum nú á tilvik þar sem gera þarf upp á milli x og y og einnig er
kostur á þriðja möguleikanum z. Gerum ráð fyrir að
1. flokkur, þ.e. N.N., hafi forgangsröðina x-y-z
2. flokkur, þ.e. allir hinir í U, hafi forgangsröðina z-x-y
3. flokkur, þ.e. allir sem ekki tilheyra U, hafi forgangsröðina y-z-x
Þar sem U ræður úrslitum um að x er tekið fram yfir y þá taka allir í
U (þ.e. bæði 1. og 2. flokkur) x fram yfir y en allir aðrir (þ.e. allir í
3. flokki) taka y fram yfir x.