Uppeldi og menntun - 01.01.2012, Síða 83

Uppeldi og menntUn/icelandic JoUrnal of edUcation 21(1) 2012 83
friðrik diego og kristín halla Jónsdóttir
Verkefni B – Þverstæða Zenóns um Akkilles
Þverstæðan um Akkiles er ein af nokkrum þverstæðum sem kenndar eru við Zenón,
grískan heimspeking sem var uppi á fimmtu öld fyrir Krist. Þverstæðan um Akkilles
er þeirra frægust og í henni kallar Zenón til leiks Akkilles sem var mestur kappi í
liði Grikkja í stríðinu um Trójuborg. Skilningur á þverstæðunni felst í rauninni í því
að viðurkenna að stærðfræðilega sé unnt að líta á endanlega vegalengd sem summu
óendanlega margra eiginlegra hluta sinna. Nýti maður sér upplýsingarnar um 10
feta forskot skjaldbökunnar og það að hraði Akkillesar er tífaldur hraði hennar lítur
dæmið svona út: Akkilles leggur af stað þegar skjaldbakan er komin 10 fet fram á
veginn. Þegar Akkilles hefur hlaupið þessi tíu fet hefur skjaldbakan komist áfram eitt
fet í viðbót. Þegar Akkilles hefur hlaupið það fet er skjaldbakan komin 1/10 úr feti til
viðbótar fram á veginn og svo koll af kolli. Vegalengdin sem skjaldbakan fer áður en
Akkilles nær henni, mæld í fetum, er því: 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + . . .
Þessa óendanlegu summu má reikna út sem markgildi með aðferðum örsmæða-
reiknings og útkoman er endanleg stærð: 100/9. Akkilles nær skjaldbökunni góðu
þegar þau hafa lagt að baki 100/9 fet. Þverstæða Zenóns er eitt af fjölmörgum við-
fangsefnum sem nota hefði mátt til að kanna skilning þátttakenda á sviði stærðfræði-
greiningar og í því skyni var hún meðal annars valin.
Verkefni C – Talnarunur
Líkanasmíð er mjög mikilvægur þáttur í stærðfræðinámi, svo og það að nota mynstur
til að leysa dæmi og setja fram tilgátur. Snar þáttur í þessu er greining á talnarunum.
Eftirfarandi talnaruna: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . þar sem fyrstu tvær tölurnar eru 1
og 1 en hver liður rununnar þar á eftir er summa tveggja næstu liða á undan kallast
Fibonacci-runa. Hún er kennd við áðurnefndan Fibonacci og birtist í reikningsbók
hans Liber Abaci. Runan segir til um hve mörg kanínupör eru til staðar á hverjum tíma.
Í upphafi er eitt par, sem frá og með næsta mánuði eignast eitt kanínupar í hverjum
mánuði sem sjálft eignast eftir mánuð nýtt kanínupar í hverjum mánuði og svo koll
af kolli án þess að nokkru sinni drepist kanína. Þessa talnarunu og kanínusögu hefur
mátt finna í stærðfræðikennslubókum öldum saman, og er þá jafnan rætt um hvernig
runan tengist hlutfallinu „gullinsniði“ og ýmsum fyrirbrigðum í náttúrunni. Runan er
góðkunningi allra kennara og að mati greinarhöfunda kjörinn fulltrúi fyrir verkefni
sem skyldi snúast um líkanasmíð og mynstur.
Verkefni D – Hugtakaskilningur í algebru
Í hreinni (e. abstract) algebru er mikið af óhlutbundnum hugtökum sem geta reynst
nemendum erfið í byrjun. Verkefnið snerist um línulega vörpun milli tveggja línu-
legra rúma og kjarna vörpunarinnar. Það fólst í að setja fram skilgreiningu á kjarna-
hugtakinu og útskýra hvernig kjarni línulegrar vörpunar tengist því hvort vörpunin
sé eintæk (varpi engum tveimur stökum á sama stak). Þess ber að geta að nemend-
urnir voru að ljúka námskeiði í línulegri algebru á stærðfræðikjörsviði og þar hafði