Uppeldi og menntun - 01.01.2012, Blaðsíða 87

Uppeldi og menntUn/icelandic JoUrnal of edUcation 21(1) 2012 87
friðrik diego og kristín halla Jónsdóttir
Einn þátttakandi skilgreindi hugtakið rétt, það er að segja að kjarninn væri mengi
(safn) allra þeirra staka sem T varpaði á 0. Annar þátttakandi sleppti því að reyna við
skilgreininguna en svar þess þriðja var á þessa lund: „kerT er (núll) 0. Þeir vektorar
sem varpast alltaf á sjálfan sig.“
Sami nemandi og skilgreindi hugtakið rétt gerði góða grein fyrir því að T væri
eintæk vörpun þá og því aðeins að eina stakið í kjarnanum væri 0. Hinum tveimur
tókst ekki vel upp en þeir reyndu samt spreyta sig á röksemdafærslunni um tengsl
kjarnans við það að vörpunin sé eintæk. Án skilnings á lykilhugtakinu kjarni verður
sú röksemdafærsla þó varla byggð. Annar nemendanna svaraði þannig: „Ef 0 ∈ Ker(T)
þá er aðeins til ein lausn svo ker(T) = {0} svo hún hlýtur að vera eintæk.“
Línuleg vörpun er sérstök gerð falls og á öllum sviðum stærðfræðinnar leika föll
stórt hlutverk. Skilningur á fallhugtakinu og eiginleikum þess er í raun forsenda fyrir
skilningi á ýmsum óhlutbundnum hugtökum, eins og til dæmis kjarna línulegrar
vörpunar. Óhlutbundin hugtök í algebru reynast nemendum erfið og geta má þess að
settar hafa verið fram kenningar um hvernig stærðfræðinemar í grunnnámi í háskóla
leitast við að draga úr stigi hlutfirðingar slíkra hugtaka (Hazzan, 1999).
Verkefni E – Hugtakaskilningur í rúmfræði – teikniforrit
Gerð er grein fyrir úrlausnum fjögurra kennaranema sem glímdu við þetta verk-
efni. Nemendur þekktu hugtakið hæð í þríhyrningi, vissu að þær væru þrjár og allir
teiknuðu þeir rétta mynd af hæð. Þeir áttu hins vegar í erfiðleikum með að setja fram
nákvæma skilgreiningu á hugtakinu og aðeins einn þessara nemenda nefndi að hæð
væri línustrik en það er ómissandi hluti af skilgreiningunni. Dæmi um svör nemenda:
Hæð í þríhyrningi myndar rétt horn á mótlæga hlið topppunktsins.
Hæð segir til um hæð þríhyrningsins, hæðin verður að koma hornrétt á línur þrí-
hyrningsins.
Ef ég hugsa um hæð í þríhyrningi sé ég fyrir mér línu sem fer frá lengstu grunnlínu í
andstæðan topppunkt (hornrétt eða stystu leið).
Þegar kom að því að útvíkka hugtakið og teikna hæð í samsíðungi voru allir nema
einn nemendanna með rétta mynd og líka rétt svar við því hve hæðirnar í samsíðungi
væru margar úr hverjum hornpunkti. Næst átti að alhæfa yfir í hugtakið hæð í marg-
hyrningi almennt og þá voru tveir af þessum fjórum nemendum með rétt svar við því
hve margar hæðir væri hægt að draga úr hverjum hornpunkti í n-hyrningi. Hinum
tókst ekki að sjá hugtakið hæð í víðara samhengi en þeir áttu að venjast.
Að lokum voru nemendur beðnir að velta því fyrir sér hvort þeir teldu að unnt
væri að nota teikniforrit til að sanna stærðfræðisetninguna sem segir að hæðirnar í
þríhyrningi skerist í einum punkti. Setninguna þekktu nemendur vel og þeir höfðu
unnið með teikniforrit sem gerði þeim kleift að draga til og breyta lögun mynda. Þeir
vissu að hvernig sem þeir drægju til teiknaðan þríhyrning með hæðum sínum myndu
hæðirnar á myndinni halda áfram að skerast. Nemendurnir töldu allir ranglega að
forritið mætti nota til að sanna setninguna. Þeim yfirsást að óháð því hve lengi þeir