Uppeldi og menntun - 01.01.2012, Qupperneq 86

Uppeldi og menntUn/icelandic JoUrnal of edUcation 21(1) 201286
UndirBúningUr verðandi stærðfræðikennara
Verkefni C – Talnarunur
Gerð er grein fyrir úrlausnum þriggja kennaranema. Þeirri spurningu var fyrst beint
til nemendanna hversu einstök Fibonacci-runan sé, til dæmis hvað myndi breytast ef
byrjað væri með aðrar tölur en 1 og 1. Segja má að þeir hafi svarað spurningunni án
þess að reyndi á gagnrýna og greinandi hugsun því þeir þekktu það greinilega allir að
allt eins mætti byrja rununa á tölunum 0 og 1 og að þá fengist Fibonacci-runan frá og
með tölu númer tvö. Eftir stuttar umræður smíðuðu nemarnir síðan nýjar runur sam-
kvæmt aðferð Fibonaccis: Völdu tvær nýjar upphafstölur og lögðu síðan saman koll af
kolli. Þeir ýmist byrjuðu með tvær ólíkar tölur eða tvisvar sömu töluna og engum datt
í hug að nota neikvæða(r) tölu(r). Í engri runu var fyrri upphafstalan minni en seinni
upphafstalan. Sýnishorn af nýjum runum nemenda:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
2, 2, 4, 6, 10, 16, 26, …
5, 7, 12, 19, 31, 50, …
10, 20, 30, 50, 80, 130, …
Tveir nemendanna bentu á að nýju runurnar þeirra endurspegluðu ekki kanínu-
tímgunina og var það eina viðleitnin til að bera eiginleika nýju runanna saman við
eiginleika Fibonacci-rununnar. Enginn velti á þessu stigi fyrir sér tengingunni við
gullinsnið. Eftir ábendingu rannsakanda reiknuðu nemendurnir út hlutföll samliggj-
andi talna í hinum nýju runum sínum og komust þá að þeirri niðurstöðu að eftir því
sem þeir komu ofar í runurnar nálgaðist þetta hlutfall töluna 1,618…
Rétt eins og hjá Fibonacci-rununni nálgaðist hlutfallið gullinsnið sem er talan √
__
1 + 5
2 .
Þegar hér var komið sögu fór ekki á milli mála að forvitni nemendanna var vakin og
þeir virtust spyrja sig spurningarinnar: „Hvernig má þetta vera?“ Enginn þeirra sýndi
tilburði til að reyna að finna svar við þeirri spurningu en tilgáta var í burðarliðnum
sem nemendur settu fram í sameiningu:
Ef byrjað er með tvær tölur og síðan bætt við tölum í sífellu með því að leggja saman
tvær næstu tölurnar á undan þá fæst talnaruna sem hefur þann eiginleika Fibonacci-
rununnar að hlutföll tveggja talna í röð stefna á gullinsnið.
Sönnun tilgátunnar felst í að reikna út markgildi með aðferðum stærðfræðigreiningar
og rannsakandi hjálpaði nemendum af stað og studdi þá í þeirri vinnu. Ekki er ástæða
til að rekja gang sönnunarinnar en geta má þess að ef markgildið er kallað x kemur
fram jafna á forminu x = 1 + 1/x sem hefur í för með sér jöfnuna x2 – x – 1 = 0 og jákvæð
lausn þessarar annars stigs jöfnu er einmitt gullinsnið: x = √
__
1 + 5
2
.
Verkefni D – Hugtakaskilningur í algebru
Gerð er grein fyrir úrlausnum þriggja kennaranema sem glímdu við verkefnið á loka-
prófi. Í prófspurningunni var fyrst rifjað upp að ef T er línuleg vörpun varpar hún
núlli í núll. Þá voru nemendur beðnir að skilgreina hugtakið kjarni línulegrar vörp-
unar T og síðan útskýra hvernig kjarninn tengdist því hvort T væri eintæk vörpun.