Árbók VFÍ/TFÍ - 01.06.2003, Blaðsíða 243
(6)
Líkanið er einnig oft skrifað á eftirfarandi máta:
dr, = a{b - r, )dl + adW,
I jöfnu (6) er b = q/h miðsæknigildið og a = h er aðlögunarhraðinn (e. speed of adjust-
ment). Þessi miðsækni eiginleiki vaxtalíkana er í samræmi við raunveruleikann þar sem
leitast er við að lækka vexti þegar vextir eru orðnir háir og vextir leita upp þegar vaxta-
stig er lágt. Því virðist sem að vextir leiti í ákveðið jafnvægi og það jafnvægi ætti þá að
samsvara miðsæknigildi vaxtaþróunarlíkansins.
I líkaninu er óvissuliðurinn óháður vaxtastiginu og dreifnin því föst. Þessu höfnuðu
CKLS og sýndu fram á að dreifnin væri í flestum tilvikum háð vaxtastiginu. Þar með ætti
líkan Vasiceks að ofmeta flöktið þegar vaxtastig er lágt og vanmeta það þegar vextir eru
háir. Helsti kostur líkansins er hins vegar hversu einfalt það er og það gefur þægilegar
lausnir á lokuðu formi. I mörgum tilvikum er það einnig nægjanlegt til að lýsa vaxta-
þróun og er það víða notað.
Líkan Cox, Ingersolls og Ross (CIR)
Cox, Ingersoll og Ross (CIR) settu sitt líkan fram 1985 og er það gefið með:
drt = (6 + r)r, )dl + a JifdW, (7)
Líkanið er frábrugðið líkani Vasiceks að því leyti að dreifniliðurinn er háður vaxtastiginu
á hverjum tíma. Þetta líkan er afbrigði af jöfnu (1) með y= V2 sem verður til þess að eigin-
leikar vaxtaraða um að dreifni sé meiri þegar vaxtastig er hátt nást fram. I rannsóknum
CKLS komust þeir að þeirri niðurstöðu að yætti að vera nálægt 1,5. Aðrir hafa haldið því
fram að nálgun CIR sé nálægt lagi og oft er þessi stiki metinn vera á bilinu 0,5-1 (Phoa,
1997). í líkani Vasiceks getur komið fyrir að vextir verði neikvæðir en líkan CIR kemur í
veg fyrir þann möguleika. Líkanið býr yfir sama miðsæknieiginleika og nefndur var í
umfjöllum um líkan Vasiceks, sjá jöfnu (6). Þetta líkan er einnig mjög víða notað og er
talið geta lýst vaxtaþróun á ásættanlegan hátt (Ahlgrim o.fl., 1999).
Til eru viðbætur við CIR-líkanið, t.d. gera miðsæknigildið tímaháð. Um þetta er ekki
fjallað nánar hér en bent á (Sigurgeirsson, 2003) til nánari skýringa.
Mat á stikum
Hægt er að meta stikana í líkönunum með því að nota Kalman-síun. Ef dreifniliðurinn er
fall af ástandsstærðinni, sem í þessu tilviki er vaxtastigið, þarf að nota vörpun til að korna
jöfnunum á viðráðanlegt form þannig að dreifniliðurinn verði fasti.
Kalman-sían gerir ráð fyrir að hægt sé að setja fram kerfið á eftirfarandi formi (Brown og
Hwang, 1997):
, ^
Astandsjafna: —'- = Ax, + Bu, + w, (8)
dt
Mælijafna: zk = Hx + vk (9)
þar sem x er vigur ástandsstærða, u er vigur þekktra innmerkja, iv er normaldreift hvítt
suð með dreifni Q , k er tími og v er óvissa í mælingu.
Þetta kerfi er hægt að skrifa á stakrænu formi sem
xM=<Þkxk+rkuk+wk (10)
Al
þar sem = eA&' og I/ = J <t><rr )/i(<r )c/rr. Stakræna dreifnin er svo fundin með
0
Ritrýndar vísindagreinar
2 3 9