Uppeldi og menntun - 01.01.2000, Blaðsíða 171

KRISTÍN HALLA JÓNSDÓTTIR
tölunni sjálfri. Þannig er einmitt talan 6 fullkomin, samkvæmt þessari skilgreiningu,
því 1 + 2 + 3 = 6. Tvær tölur kallast vinatölur ef deilasumma fyrri tölunnar er jöfn
seinni tölunni og deilasumma þeirrar seinni jöfn fyrri tölunni. Dæmi um vinatölur
eru tölurnar 220 og 284. Deilar tölunnar 220 eru 1, 2, 4, 5,10,11, 20, 22, 44, 55 og 110
og séu þeir lagðir saman fæst talan 284. Deilar tölunnar 284 eru á hinn bóginn 1, 2,
4, 71 og 142 og séu þeir lagðir saman fæst talan 220.
Frumtölur skipa veglegasta sessinn af þeim talnaflokkum sem Grikkir fengust
við. Frumtala er náttúrleg tala, önnur en 1, sem er þannig að einu náttúrlegu tölurn-
ar sem ganga upp í hana er hún sjálf og talan 1. Ein elsta setning stærðfræðinnar
segir að frumtölurnar séu óendanlega margar. Sönnun setningarinnar er kennd við
Evklíð, frægasta gríska stærðfræðing fornaldar, sem var uppi um 300 fyrir Krist.
Sönnunin er svo kölluð óbein sönnun, því Evklíð rökstyður að andstæða setningar-
innar geti ekki gilt. Það er að segja hann rökstyður að frumtölurnar geti ekki verið
endanlega margar sem auðvitað jafngildir því að þá hljóti þær að vera óendanlega
margar, eins og sanna átti. Sönnun Evklíðs er gullfalleg og röksemdafærsla hans
einföld og skýr. Frumtölurnar, leitin að þeim og hvernig þær sitja meðal náttúrlegu
talnanna, þ.e. hvar í röðinni þær skjóta upp kollinum, hefur verið viðfang stærð-
fræðiiðkana allt fram á þennan dag. Og þær eru einskonar hornsteinar náttúrlegu
talnanna með tilliti til margföldunar því aðrar náttúrlegar tölur má „smíða" sem
margfeldi frumtalna. Svokölluð Aðalsetning reikningslistarinnar fjallar einmitt um
þetta en hún segir:
Sérhver náttúrleg tala önnur en 1 er annaðhvort frumtala eða hana má tjá á
einhlítan hátt sem margfeldi frumtalna.
Það skal tekið fram að Grikkir töldu röð talna í margfeldi ekki skipta máli og því
leiðir af Aðalsetningu reikningslistarinnar að sérhverja náttúrlega tölu, sem er
hvorki frumtala né talan 1, má leysa upp í frumþætti á einn og aðeins einn veg.
Þessar tölur kallast samsettar tölur og svo dæmi sé tekið þá er talan 1001 samsett
tala. Hún er margfeldi talnanna 7, 11 og 13 sem eru frumtölur og eru því frum-
þættir hennar. Aðra frumþætti á hún sér ekki.
Meginuppistaða bókarinnar The man who loved only numbers eftir Paul Hoffman
fjallar um ungverska stærðfræðinginn Paul Erdös, barn 20. aldar, sem helgaði
glímunni við talnafræði starfsævi sína. Hann heillaðist ungur af fræðigreininni og
hóf snemma að velta fyrir sér spurningum á sviði hennar. Það er einmitt eitt af
einkennum sígildrar talnafræði hve sjálfar spurningarnar, sem greinin fæst við að
svara, geta verið einfaldar. Nánast allir skilja þær og geta velt þeim fyrir sér og
leitað svaranna. Svara sem á hinn bóginn getur verið svo torvelt að finna og rök-
styðja að sumum spurningunum er ósvarað enn í dag þrátt fyrir að glímt hafi verið
við þær öldum saman. Ein slík spurning varðar fullkomnar tölur, sem minnst var á
hér á undan. Hljóðar hún svo: „Er til oddatala sem er fullkomin?" í leit að svarinu
myndu væntanlega flestir byrja á að skoða oddatölurnar, eina af annarri, finna deila
þeirra, leggja þá saman og kanna hvort útkoman sé jöfn oddatölunni sjálfri. En
tökum fleiri dæmi um spurningar: „Er sérhver slétt tala önnur en talan 2 summa
tveggja frumtalna?" „Eru til óendanlega margar tvenndir af vinatölum?" „Eru til
169