Skírnir - 01.04.1991, Blaðsíða 224

218
KRISTÍN HALLA JÓNSDÓTTIR
SKlRNIR
um setja þau kennimörk að einingarnar séu óskiptar og jafnvel óskiptan-
legar. En þar sem okkur er frjálst að líta á sérhvern ytri hlut sem fjölda þá
verða höfundarnir að bregða á það ráð að gera ráð fyrir að einingarnar séu
óskiptanlegar í huga okkar, ekki í sjálfum sér. Þetta gagnrýnir Frege og segir
að við séum engu bættari með að hugsa okkur hlutina öðruvísi en þeir séu,
enda sé niðurstaða sem dregin er af röngum forsendum ávallt röng sjálf.
Hann greinir frá glímu fræðimanna við spurninguna um það hvort hver
eining sé jöfn annarri. Sumir höfundar kalla þær jafnar fyrirvaralaust, en
aðrir boða að hver eining sé frábrugðin annarri. Það er líkast því að ýmist sé
þörf á jöfnuði eða frábrigðum, og vandinn reynist einmitt vera sá, að
samrýma jöfnuð og aðgreinanleika eininganna. Aðgreinanleikinn má ekki
granda jöfnuðinum og gera einingarnar margfaldar í roðinu.
Frege fjallar um tilraunir annarra fræðimanna til að leysa þennan vanda.
Til dæmis þær tilraunir að nota tíma og rúm, eða stöðu í röð, sem að-
greiningarhætti, en hann telur hvoruga tilraunina hafa tekist. Hann segir
meðal annars:
Staða í röð getur ekki verið ástæða fyrir aðgreiningu hluta; því þeir hljóta
sjálfir að vera mismunandi á einn eða annan hátt áður en hægt er að raða þeim
upp. (136)
I lok þriðja kafla setur Frege fram lausn sína á vandanum. Hann segir að tala
sé hvorki efniskennd né huglæg. Til að skilja töluhugtakið þurfi að skyggn-
ast eftir tölum í upprunalegri notkun þeirra, það er að segja í dómum. Sé það
gert komi í ljós að talnadómur feli í sér staðhæfingu um hugtak og fyrst hug-
tökin séu hlutlæg þá tjái tölur staðreyndir. Villan í dæminu hér að framan
um spilabunkann felist í því að gera ráð fyrir að viðföng talna séu hlutir en
ekki hugtök. Eftir að hugtökin hafi ýtt hlutunum til hliðar komi í ljós að
ólíkar tölur útiloki hver aðra ekkert síður en litir. Loks segir Frege að sé litið
á einingu sem frumlag talnadóms megi orða setninguna um afmörkun og
ódeilanleika einingarinnar á þennan hátt: „Eining, með tilliti til endanlegs
fjölda, getur aðeins verið hugtak er afmarkar skýrt það sem undir það fellur
og leyfir ekki að því sé deilt upp af handahófi" (150). Nú sé það hægðar-
leikur að svara spurningunni um hvernig samrýma megi jöfnuð og
aðgreinanleika eininganna: þær séu jafnar samkvæmt skilgreiningunni hér að
ofan en aðgreinanleikinn snúi að hlutunum sem taldir séu. Og þetta skýrir
hann nánar með setningunni „Fjögur tungl snúast um Júpíter". I þessari
setningu sé hugtakið „tungl Júpíters" einingin, en undir hugtakið falli jafnt
tungl I, II, III og IV.
Markmið Freges með fjórða kafla er að ná valdi á fjöldahugtakinu, skil-
greina tölurnar 0 og 1 og skilgreina hugtakið „fylgni í röð“. Síðan að leiða
rök að því að á eftir sérhverri tölu í náttúrlegu talnaröðinni fylgi önnur,