Skírnir - 01.04.1991, Blaðsíða 225

SKÍRNIR
ER STÆRÐFRÆÐI ÓMAKSINS VERÐ?
219
engin fylgi á eftir sjálfri sér og þar með að náttúrlegar tölur séu óendanlega
margar.
Frege leggur áherslu á mikilvægi þess að grunnhugtakið „tala“ sé skoðað
ofan í kjölinn og segir:
Þegar grunnhugtak mikilla vísinda er slíkum vandkvæðum háð verður varla
undan ekist að í það sé rýnt af meiri nákvæmni til að greiða úr vandanum, ekki
síst þar sem örðugt mun að komast til botns í neikvæðum tölum, brotum og
tvinntölum á meðan skilningur á sjálfum undirstöðum reikningslistarinnar er
í molum. (62-63)
Sú frumregla, sem er önnur í röðinni af áðurnefndum frumreglum Freges, er
að ávallt beri að hafa í huga skilsmun hugtaks og hlutar. Hann segir að það
sé blekking að hægt sé að gera hugtak að hlut án þess að breyta því, og af því
leiði að hin útbreidda bókstafstrú til dæmis um brot og neikvæðar tölur sé
haldlaus. Hann telur að unnt sé að betrumbæta þá kenningu, og lykillinn að
leyndarmálinu sé sá sami og að skilgreiningunni á náttúrlegum tölum: að
koma því á hreint hvernig skilja beri jöfnur.
I upphafi fjórða kafla gaumgæfir Frege nánar orðalagið að talnadómur feli
í sér staðhæfingu um hugtak. Hann rökstyður að einstök tala sé aðeins hluti
þess sem staðhæft er, en einmitt af þeim sökum birtist hún okkur sem sjálf-
stæður hlutur. Hann bendir á að þótt það beri við að tölur séu notaðar sem
einkunnir í daglegu máli þá sé jafnan unnt að sneiða hjá slíku. Til dæmis
megi umrita setninguna „Fjögur tungl snúast um Júpiter" sem „Tala tungla
Júpiters er fjórir" eða „er talan fjórir“. „Er“ þýði hér „er jafnt og“, „er sama
og“. Þetta sé því jafna sem kveði á um að „tala tungla Júpiters" tákni sama
hlut og orðið „fjórir". Niðurstaða hans er að líta beri á talnadóm sem jöfnu.
Frege telur að ekki sé viðlit að gera sér tölu í hugarlund sem sjálfstæðan hlut
eða eiginleika ytri hlutar, þar sem hún sé hvorki skynjanleg né eiginleiki slíks
hlutar. Þrátt fyrir þetta sé töluhugtakið ekki órannsakanlegt, enda séu þess
mörg dæmi að jafnvel áþreifanlega hluti sé ekki hægt að gera sér í hugarlund.
Og hann rökstyður að engin ástæða sé til að afneita merkingu orðs eða
útskúfa því úr málinu þótt við getum ekki sett okkur inntak þess fyrir sjónir.
Það sem okkur beri að gera sé að skoða setninguna í heild, aðeins í samhengi
hennar öðlist orð raunverulega merkingu. Þriðja og síðasta frumreglan sem
Frege heldur fast við í bókinni er einmitt sú að aldrei skuli inna eftir
merkingu orða út af fyrir sig heldur ævinlega í samhengi setningar.
En víkjum þá aftur að þeirri fullyrðingu Freges að til að ná valdi á fjölda-
hugtakinu verði að festa skilning talnajafna, og að þörf sé á einhverjum
prófsteini á þennan jöfnuð. Hann telur að hið margbreytta og mikilsverða
notagildi jafna felist í því að unnt sé að bera kennsl á það sama aftur þótt
því sé lýst á ólíka vegu. Síðan fjallar hann um og skýrir hugtakið „gagntæk