Skírnir - 01.04.1991, Blaðsíða 221

SKÍRNIR
ER STÆRÐFRÆÐI ÓMAKSINS VERÐ?
215
þróun greinarinnar. Hins vegar bar meira á þróun í algebru á þeirri öld
heldur en viðleitni stærðfræðinga til að styrkja undirstöður hennar. Þó má
segja að jafnframt hafi almennt tekið að bera á viðleitni stærðfræðinga til
strangari sannana og skýrari skilgreininga á hugtökum. Enda hafði í aldar-
lokin ýmsu verið áorkað í þessa veru. Til dæmis höfðu tvinntölur verið skil-
greindar út frá rauntölun, rauntölur skilgreindar út frá ræðum tölum og
ræðar tölur skilgreindar út frá heilum tölum. Auk þess höfðu fjölmargir
stærðfræðingar og heimspekingar glímt við að skilgreina töluna einn og
aðrar náttúrlegar tölur eða þá velt því fyrir sér hvort þær væru óskilgreinan-
legar.
í bók sinni Undirstöður reikningslistarinnar, sem kom út árið 1884,
freistar Gottlob Frege þess að styrkja undirstöður reikningslistarinnar og
þar með algebrunnar enn frekar en gert hafði verið. Hann leitast við að
skilgreina fjöldahugtakið og náttúrlegar tölur og sýna fram á að reiknings-
listin hvíli á rökfræðilegum grunni. Hann segir í inngangi bókar sinnar að
annaðhvort verði að skilgreina fjöldahugtakið eða kannast við að það sé
óskilgreinanlegt. Þetta sé verkefni bókarinnar meðal annars, enda skipti
útkoman sköpum fyrir spurningarnar um eðli lögmála reikningslistarinnar.
Stærðfræðingar og heimspekingar hafa öldum saman velt talnahugtakinu
fyrir sér. Aristóteles greinir frá því að fylgismenn Pýþagórasar sem voru
uppi á 6. öld f. Kr. í grísku borginni Krótónu á Suður-Italíu hafi fundið
lögmál allra hluta í tölum. Þeir hafi fyrstir Grikkja fengist við stærðfræði,
hafi trúað því að allir hlutir lytu lögmálum hennar og tölurnar væru eðlilega
fyrstu lögmálin. Pýþagóringar þekktu talnahlutföll samhljóma í tónstiganum
og þau voru þeim afar skýrt dæmi um þátt talna í alheiminum. Attund má tjá
sem hlutfallið 1:2, fimmund sem hlutfallið 2:3 og ferund sem hlutfallið 3:4 og
pýþagóringar trúðu því að slík töluleg lögmál giltu um aðra hluti og
fyrirbrigði líka, það þyrfti aðeins að uppgötva þau. Þeir trúðu því meira að
segja að hlutir væru gerðir úr tölum og þar með að tölurnar væru efnislegar
í raun og veru. Sumar kenningar pýþagóringa um þessi efni virðast í fljótu
bragði handahófskenndar, til dæmis héldu þeir fram að réttlæti væri talan 4,
tækifæri talan 7, hjónaband talan 5, karl talan 3 og kona talan 2. Segja má að
pýþagóringar séu fyrstu fræðimenn sem hafi markvisst reynt að reisa þekk-
ingu á náttúrunni á mælanlegum stærðfræðilegum grunni. í formálanum að
annarri útgáfu á bók sinni Undirstöður stœrðfrxðinnar (Principles of Mathe-
matics) árið 1937 segir enski heimspekingurinn Bertrand Russell að kenn-
ingar pýþagóringa, sem hafi byrjað með reiknifræðilegri dulspeki, hafi haft
djúpstæðari áhrif á alla síðari tíma heimspeki og stærðfræði heldur en menn
geri sér almennt ljóst. Hann segir pýþagóringa hafa talið tölurnar óbreyti-
legar og eilífar líkt og himintunglin, þær væru skiljanlegar og fræðin um
þær væru lykillinn að alheiminum.